Как найти радиус планеты, зная ее внутренний состав?

Краткая версия: вторая планета (такая же общая масса) будет иметь радиус, который больше , чем у первой, если только ядро ​​​​второй планеты больше (по массе), чем первая.

Это имеет смысл, если подумать. Меньшее ядро ​​должно иметь гораздо больше легкого внешнего материала, чтобы составить общую массу. Большему сердечнику нужно меньше, чтобы сделать тот же радиус.

Ужасная математика :-)

Что у вас есть это:

$$M_1 = \frac 4 3 \pi \left[ \sigma_a r_{a1}^3 + \sigma_b(r_1^3-r_{1a}^3) \right]$$

$$M_2 = \frac 4 3 \pi \left[ \sigma_a r_{a2}^3 + \sigma_b(r_2^3-r_{2a}^3) \right]$$

Где$a$нижний индекс относится к железному ядру и$b$к оставшемуся материалу.

Вы знаете, что массы равны, поэтому мы можем приравнять эти две массы.

Мы также знаем относительные массы ядер:

$$\frac{M_{1a}}{M_{2a}} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6 = \frac {r_{1a}^3}{r_{2a}^3}$$

Итак, мы знаем отношение радиусов ядер, и я назову это$x$для удобства, хотя на самом деле$0.6^{\frac 1 3} = 0.8434$. я позвоню$y=r_{1a}$(чтобы сохранить мой ввод).

Для простоты мы будем использовать все радиусы относительно$r_1$который мы устанавливаем на$1$.

$$\sigma_a y^3 + \sigma_b (1-y^3) = \sigma_a (xy)^3+\sigma_b(r_2^3-(xy)^3)$$

Мы знаем$x, \sigma_a$и$\sigma_b$. Мы не знаем значений$y = r_{1a}$и$r_2$.

Таким образом, мы получаем для радиуса второй планеты:

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ \sigma_a y^3 + \sigma_b (1-y^3) - \sigma_a (xy)^3 + \sigma_b (xy)^3 \right]$$

Или

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ y^3 \left( \sigma_a - \sigma_b - \sigma_a x^3 + \sigma_b x^3 \right) +\sigma_b\right]$$

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ y^3 (1-x^3) \left( \sigma_a - \sigma_b\right) +\sigma_b\right]$$

Вы спрашивали :

Логично думать, что эта планета будет меньше предыдущей

Что это означает, является ли$r_2<1$(потому что мы установили$r_1=1$для удобства).

Итак, для этого требуется:

$$y^3 (1-x^3) ( \sigma_a - \sigma_b )<0$$

То есть требуется радиус ядра первой планеты ($y=r_{1a}$) быть меньше нуля, что, конечно же, невозможно, а значит, радиус второй планеты всегда больше!

Чтобы сделать вторую планету меньше нужно иметь:

$$1-x^3 = 1 - \frac{{r_{1a}}^3}{{r_{1b}}^3} < 0$$

А для этого требуется:

$$r_{1b} > r_{1a}$$

Или что радиус (и, следовательно, масса) ядра второй планеты больше , чем у первой планеты.

Планета с наименьшим ядром имеет наибольший радиус, если их суммарные массы равны.

Еще можно "исправить" это, если плотность ядра ($\sigma_a$) была меньше внешней плотности ($\sigma_b$), но это физически нереально.

Цзэн и др. (2015) « Соотношение массы и радиуса скалистых планет на основе PREM » может быть вам полезно.

Они дают следующее уравнение:

$$\frac{R}{R_\oplus} = \left(1.07 - 0.21 \cdot \mathrm{CMF}\right) \cdot \left(\frac{M}{M_\oplus}\right)^{1/3.7}$$

Где$R$и$M$- радиус и масса планеты соответственно,$R_\oplus$и$M_\oplus$— радиус и масса Земли соответственно, а CMF — массовая доля ядра (т. е. процент по массе железа). Они заявляют, что это уравнение справедливо в диапазоне от ~ 1 до ~ 8 масс Земли и для CMF в диапазоне от 0 до 0,4.

Если вы хотите выйти за пределы этого диапазона, вы можете интерполировать значения в таблице 2 в статье, которая простирается от 0,125 до 32 масс Земли, а доли железа от 100% до 0%. В таблицу также включены двухслойные планеты, содержащие воду и силикаты.

Более простой подход (нет 𝜋 для вас)

Предположим, что плотность кремнезема равна 1, а плотность железа равна 3:

• Плотность второй планеты будет 1*50% + 3*50% = 2,0.
• Плотность первой планеты будет 1*70% + 3*30% = 1,6.
• Отношение их плотностей будет 2,0/1,6=1,25.
• Отношение их объемов будет 1/1,25=0,8.
• Отношение их радиусов будет кубическим корнем из 0,8, что равно 0,928.

То есть радиус второй, более плотной планеты будет на 7,2% меньше радиуса первой.