Вопрос о коммутаторах в квантовой механике

Предлагаю следующий мысленный эксперимент:

Предположим, у нас есть пучок одинаково подготовленных электронов, который расщепляется на два. Первый проходит через детектор А, который обнаруживает Икс + у где Икс - координата вдоль направления x и у это координата вдоль у направление. Затем измеряем разность импульсов электронов в Икс и у направления т.е. п Икс − п у . Тогда, согласно постулатам квантовой механики, мы можем измерить обе величины с произвольной точностью, поскольку

[ Икс + у , п Икс − п у ] "=" [ Икс , п Икс ] − [ у , п у ] "=" 0
Второй пучок электронов подвергается аналогичным измерениям с помощью детектора B, но на этот раз мы измеряем Икс − у а затем измерьте сумму импульсов, т.е. п Икс + п у . Затем мы снова можем измерить Икс − у и п Икс + п у с произвольной точностью, потому что
[ Икс − у , п Икс + п у ] "=" [ Икс , п Икс ] − [ у , п у ] "=" 0
Тогда, складывая результаты измерений, имеем ( Икс + у ) + ( Икс − у ) "=" 2 Икс а потом ( п Икс − п у ) + ( п Икс − п у ) "=" 2 п Икс . Оба из которых, Икс и п Икс может быть измерена с произвольной точностью, что нарушает принцип неопределенности. Если, с другой стороны, мы проведем этот эксперимент и обнаружим, что мы не можем измерить вышеупомянутые величины с произвольной точностью, то из этого следует, что постулаты квантовой механики неправильно предсказывают результат эксперимента в том смысле, что коммутатор исчезает, но мы не можем измерить величины с произвольной точностью.

Означает ли это, что постулаты квантовой механики противоречивы? (Конечно, я на это не надеюсь!)

Пучок одинаково подготовленных электронов, который расщепляется надвое, кажется мне противоречием, возможно, непониманием того, что означает «одинаково подготовленный».
Обратите внимание, если вы выполняете π / 4 вращение ( Икс , у ) ↦ ( ты , в ) , Икс + у "=" ты 2 и п Икс − п у "=" п в 2 , поэтому вы также можете заменить эти выражения на [ Икс , п у ] "=" 0 и [ у , п Икс ] "=" 0 . Дополнительная алгебра служит только для того, чтобы запутать ваш вопрос.
@ Дж. Мюррей, я не понимаю, как вы вращаете скалярную величину. Величина - это величина в направлении x плюс величина в направлении y, которая оказывается скалярной величиной.
@ user11937 Я говорю, если вы повернете ( Икс , у ) топоры по π / 4 получить новые топоры ( ты , в ) , то количество Икс + у просто становится ты 2 пока Икс − у становится в 2 и аналогично для импульсов. Добавление Икс + у не дает вам ничего нового - это просто положение, измеренное по другой оси.
@ Дж. Мюррей, посмотри, есть ли у меня детектор, который измеряет Икс + у "=" 1 + о где о это неопределенность в измерении. Затем у "=" 1 − Икс + о теперь вы расскажете мне, как ваше преобразование координат уменьшает прямую линию с точкой пересечения в 1 и наклоном, равным -1, к вашей новой оси (u, v).
@ user11937 Боюсь, я не совсем понимаю, о чем вы спрашиваете. Все, что я говорю, это измерение Икс + у и п Икс − п у точно так же (кроме коэффициента 2 ) как измерение Икс и п у с детектором, ориентированным под углом 45 градусов по отношению к исходному, поэтому сложение и вычитание различных величин никак не влияет на суть вашего вопроса.
@ J.Murray J.Murray, если вы собираетесь выполнить преобразование координат, вам также следует выполнить правильное преобразование координат для операторов p_u и p_v. Если вы выполняете преобразование координат для p_u, используя цепное правило, вы получаете p_u = p_x + p_y, а для p_v = p_x - p_y. И если бы вы внимательно читали вопрос, вы бы заметили, что после измерения координаты u мы измеряем p_x - p_y, что оказывается p_v. Так что не вижу в чем проблема.
@ user11937 Опять же, проблем как таковых нет, но вы можете просто сказать, что измеряете Икс и п у на одном луче и у и п Икс с другой. Таким образом, вы утверждаете, что одновременно измеряете Икс и п Икс - что для меня очень мало смысла, потому что вы измеряете разные лучи . В любом случае использование неперевернутых координат ничего не делает для прояснения проблемы, а служит лишь алгебраической дымовой завесой, скрывающей реальный вопрос, осознаете вы это или нет.
@J.Murray J.Murray Я не понимаю, какова цель преобразования координат в решении этой проблемы. Вы хотите сказать, что измерения эксперимента не зависят от системы отсчета? А если результат эксперимента сохраняется в одном кадре, то он автоматически сохраняется и в другом?
@user11937 user11937 Я говорю, что вашу настройку можно перефразировать так: «Я разделяю луч на два и измеряю ( Икс , п у ) на одном луче и ( у , п Икс ) с другой стороны, которая, кажется, дает одновременное измерение Икс и п Икс ». Сложение и вычитание не служат никакой другой цели, кроме как сделать вопрос несколько более непрозрачным; при этом уже есть несколько хороших ответов.
@ Дж. Мюррей снова не понимаю, к чему стремится преобразование координат. Это все равно, что сказать, что нам не нужны сложные формулы для измерения спина, потому что, если мы измеряем спин во вращающейся системе отсчета, он всегда будет равен 0.
@user11937 user11937 Очевидно, моя точка зрения не понятна. В своем ответе на ответ Марка вы утверждаете, что ваше предложение принципиально отличается от того, которое предлагает он. Я хочу сказать, что они совершенно одинаковы , и тот факт, что вы думаете иначе, предполагает, что вы запутались в своем выборе координат. Тем не менее, ясно, что я неэффективен, поэтому я остановлюсь.
@ J.Murray J.Murray Все, что вы говорите, это то, что коммутатор u и p_v равен 0 в новых координатах. Затем вы говорите, что я должен был указать, что я измеряю u и p_v в новых координатах, как будто это что-то меняет в моем вопросе. Вы подразумеваете, что мы всегда должны измерять в системе координат, которую вы определяете? Честно говоря, я хотел бы, чтобы вы связали преобразование координат с моим вопросом, потому что вы констатируете факт, который не имеет отношения к моему вопросу.

Ответы (5)

Было бы гораздо проще просто измерить Икс вашего первого луча и п Икс второго луча.

Оба из которых, Икс и п Икс может быть измерена с произвольной точностью, что нарушает принцип неопределенности.

Нарушения принципа неопределенности нет. Если у вас есть неограниченный запас одинаково подготовленных систем, вы можете измерять с произвольной точностью (в принципе). Принцип неопределенности ограничивает то, что вы можете одновременно измерять в одной системе .

Если я сделаю так, как вы говорите, я локализую частицу в одном луче и потеряю всю информацию об ее импульсах и наоборот во втором луче. Что не помогает мне найти импульс, принадлежащий электрону в определенной области пространства. В то время как в моем эксперименте я измеряю как область, которую занимает электрон, так и его импульс в области пространства.
@user11937 user11937 Согласно комментарию, который я только что оставил по исходному вопросу, ваше предложение отличается от предложения Марка лишь тривиальным π / 4 вращение ваших опорных осей (и масштабирование на 2 )
@ user11937 То же самое произойдет, если вы измерите Икс + у : положение частицы в Икс + у направление становится локализованным, поэтому вы теряете всю информацию о п Икс + п у .
@Carmeister, мы измеряем p_x - p_y, который коммутирует с x + y, поэтому измерение обеих наблюдаемых с произвольной точностью не является проблемой.
@ user11937 Да, но тогда вы измеряете п Икс + п у второго электронного луча и утверждая, что он говорит вам о значении п Икс + п у для первого луча. Но когда вы измерили Икс + у первого луча вы изменили значение п Икс + п у для этого луча.
@Carmeister Я измеряю сумму импульсов после того, как частицы проходят через фильтр xy. Я не понимаю, как измерение суммы координат в первом луче влияет на измерение суммы импульсов во втором луче, поскольку они разделены и нет никакой запутанности.
@ user11937 «Я не понимаю, как измерение […] первого луча влияет на измерение […] второго луча», в этом суть. Два измерения не коррелированы! Таким образом, их добавление ничего не говорит нам об отдельных измерениях.

Вы предполагаете, что два пучка электронов — это две разные системы в одинаковых квантовых состояниях. Принцип неопределенности ограничивает измерение двух некоммутирующих наблюдаемых в одной системе, но ничего не говорит об измерениях в отдельных системах. Если бы у меня были две идентичные системы в одинаковых состояниях, я мог бы просто измерить Икс в одной системе и п Икс в другой системе, которая дала бы мне точное измерение Икс и п Икс в то же время. Нет необходимости проходить сложный процесс, который вы описали.

Теорема о запрете клонирования имеет дело с неизвестным состоянием... Далее, почему измерение п Икс в А 1 даже нарушать HUP? Если бы вы повторяли измерения много раз, вы бы нашли (для «общего» состояния) о ( Икс ) о ( п ) ≥ ℏ .
@Jakob Это не нарушит HUP. Это моя точка зрения. Измерение одной переменной с произвольно высокой точностью не нарушает HUP. Идея ОП состоит в том, чтобы взять две идентичные системы, измерить Икс в одной системе с высокой точностью, а затем измерить п Икс во втором идентичном экземпляре с высокой точностью. При этом вы бы измерили оба Икс и п Икс с очень высокой точностью и не нарушали HUP. Я хочу сказать, что такого рода измерения вообще НЕ являются нарушением HUP.
@Jakob Проблема здесь в том, что в первую очередь требуется наличие двух идентичных систем.
Вы говорите: Тогда измерьте Икс в А и п Икс в А 1 и таким образом я бы нарушил принцип неопределенности - и я спросил: почему? Я не вижу нарушения HUP: если создать ансамбль одинаковых состояний (что, в принципе, возможно при известном состоянии), то соответствующие дисперсии результатов измерения не могут стать сколь угодно малыми. Я не вижу здесь никакого нарушения HUP.
@Jakob - ты неправильно понял это предложение. Я изменю это, чтобы это не вызывало путаницы. PS - я описывал, как может выглядеть контраргумент к моему ответу, но явно не понял этого.
Хотя основная часть вашего ответа верна, часть вашего ответа, не связанная с клонированием, неверна. Теорема запрещает нам копировать/клонировать произвольные состояния. Это не ограничивает подготовку идентичных состояний. Мы всегда можем подготовить идентичные состояния по нашему выбору (с помощью оператора, собственное состояние которого является нашим выбранным состоянием).
@SuperfastJellyfish удалил его.
@Prahar, пожалуйста, прочитайте мой комментарий к ответу Марка выше, потому что ваш ответ очень похож на его.

Тогда, складывая результаты измерений, имеем ( Икс + у ) + ( Икс − у ) "=" 2 Икс а потом ( п Икс − п у ) + ( п Икс − п у ) "=" 2 п Икс .

Не совсем, тут две проблемы. Первая проблема заключается в том, что, поскольку есть два электрона, должно быть два набора операторов положения и импульса, поэтому Икс в первом слагаемом отличается от Икс во второй срок.

Вторая проблема заключается в том, что вы небрежно относитесь к различию между операторами и собственными значениями. Например, в первом случае у вас фактически нет Икс и у собственные значения, поскольку вы не измеряли Икс ^ и у ^ ; ты только измерил Икс ^ + у ^ (Я использую шляпы для обозначения операторов). Таким образом, вы не можете расстаться ( Икс + у ) в Икс + у . По этой причине имеет больше смысла определять новые операторы, основанные на вращении и масштабировании, упомянутых Дж. Мюрреем , ты ^ я "=" Икс ^ я + у ^ я , в ^ я "=" Икс ^ я − у ^ я и аналогично для импульса (нижние индексы обозначают два набора операторов для двух частиц).

Учитывая это, значения, которые вы измерили, ты 1 , п в 1 , в 2 и п ты 2 . Поскольку все четыре соответствующих оператора коммутируют, здесь нет противоречия.

Я нахожу странным, что вероятностное описание операторов положения и импульса основано на единственном наблюдении за одним электроном. Другими словами, как бы вы измерили стандартное отклонение импульса и положения отдельного электрона в одном наблюдении. Поэтому, чтобы иметь действительное измерение стандартного отклонения каждой наблюдаемой, вам нужно будет провести измерение на наборе идентично подготовленных частиц, что и имеет место в моем вопросе. Кроме того, для преобразования координат прочитайте мой последний комментарий выше.
@user11937 user11937 На самом деле нет смысла говорить о стандартном отклонении одного наблюдения, если только вы не говорите о неопределенности измерения, что является чем-то другим. Стандартное отклонение оператора определяется выражением о А ^ "=" ⟨ А ^ ⟩ 2 − ⟨ А ⟩ 2 . Поскольку это выражение содержит ожидаемые значения, логично, что его измерение требует проведения измерений на ансамблях частиц в одном и том же состоянии, поскольку стандартное отклонение определяется для состояния, а не для частицы.
@user11937 user11937 Что касается темы преобразования координат, я не вводил никакого преобразования координат - все, что я сделал, это для удобства определил новый набор операторов на основе старых. ты ^ и п ^ ты операторы по-прежнему могут быть представлены в Икс , у на основе ⟨ ψ | ты ^ | Икс , у ⟩ "=" ( Икс + у ) ⟨ ψ | Икс , у ⟩ и ⟨ ψ | п ^ ты | Икс , у ⟩ "=" − я ℏ ( ∂ ∂ Икс + ∂ ∂ у ) ⟨ ψ | Икс , у ⟩ .
А как можно измерить состояние без физической частицы в этом абстрактном состоянии? К вашему второму комментарию: так вы переименовываете оператора
@user11937 user11937 Вам все еще нужна физическая частица, чтобы провести измерение. Я просто говорю, что стандартное отклонение оператора — это свойство состояния, а не частицы. Это важно, потому что при измерении вы меняете состояние частицы.
Во-первых, стандартное отклонение относится исключительно к результатам оператора (посмотрите любой учебник, такой как Sakurai) и, следовательно, является свойством самого оператора. Во-вторых, если два оператора коммутируют, вы не разрушаете состояние, такое как измерение операторов x + y и p_x - p_y в этом порядке.
@ user11937 Конечно, стандартное отклонение зависит от оператора — это само собой разумеется. Когда вы измеряете Икс ^ + у ^ состояние изменяется на собственное состояние этого оператора; когда вы измеряете п ^ Икс − п ^ у , так как это коммутирует с Икс ^ + у ^ , состояние изменяется на совместное собственное состояние обоих операторов.
Если вас смущает мысль, что система разделена на две части, т.е. луч разделен на две части, вы можете думать об этом так: мы измеряем x+y, а затем p_x - p_y. Затем мы поворачиваем фильтр на 90 градусов в сторону x-y и измеряем p_x + p_y на ансамбле частиц.
Если Икс ^ + у ^ и Икс ^ − у ^ измерения производятся на разных частицах, то систему необходимо представлять разделенной надвое. Если бы измерения проводились на одной и той же частице, это привело бы к разным результатам, поскольку измерения не проводились бы в одном и том же состоянии.

Позвольте мне попытаться перефразировать то, что пытаются сказать все остальные ответы.

Учтите, что начальное состояние таково, что каждый (x, y) равновероятен в пределах квадрата единичной длины. Это означает, что внутри этого квадрата каждая точка равновероятна, а вне его вероятность обнаружения равна нулю. Вы можете выбрать любое состояние, которое вам нравится, это не повлияет на последующие аргументы.

Теперь давайте рассмотрим два измерения, которые мы делаем; один из Икс ^ + у ^ и еще один из Икс ^ − у ^ . После того, как вы измерите первое, ваше состояние локализуется в точке (p1) в пределах единичного квадрата. Но вот в чем дело, когда вы измеряете секунду, состояние локализуется в другой точке (p2), которая чаще всего не совпадает с p1.введите описание изображения здесь

Теперь вы понимаете, почему нет смысла складывать два измерения и называть это одним измерением? Второе измерение не зависит от первого, поэтому объединять их бессмысленно. Это становится более очевидным, когда мы правильно маркируем наши операторы измерения. Икс ^ 1 + у ^ 1 и Икс ^ 2 + у ^ 2 .

Если вы будете повторять этот набор измерений бесконечное количество раз, вы заполните квадрат (полная информация об исходном состоянии). Но каждое последующее измерение не имеет корреляции с предыдущим.

Тогда, складывая результаты измерений, имеем ( Икс + у ) + ( Икс − у ) "=" 2 Икс а потом ( п Икс − п у ) + ( п Икс − п у ) "=" 2 п Икс .

Это проблема. Вы измерили Икс + у на первом луче и Икс − у на втором луче. Эти две величины на самом деле не связаны. Вы могли бы написать

( Икс 1 + у 1 ) − ( Икс 2 − у 2 )

Но у нас нет Икс 1 "=" Икс 2 или у 1 "=" у 2 , так что вы не можете заключить ничего интересного о положении или импульсах отдельных лучей.

Тем не менее, эта идея исследовалась в литературе по оптодинамике резонатора: Møller et. др. «Квантовое обратное действие, уклоняющееся от измерения движения в системе отсчета с отрицательной массой» (2017) . Мой вывод заключается в том, что да, когда у вас есть более 1 системы с положением и импульсом, вы можете найти линейные комбинации их положения и импульса, которые коммутируют, что позволяет одновременно измерять эти линейные комбинации. Однако в этом случае вы не получаете полной информации о какой-либо конкретной подсистеме, поэтому обычные ограничения, налагаемые квантовой механикой, остаются в силе.

Вопрос о коммутаторах в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v