Как Ньютон писал свои уравнения?

Этот вопрос включает в себя два довольно разных момента. Он включает в себя практику Ньютона для обозначения не только производных, но и функций (или чего-либо еще), которые он использовал для обозначения значений этих производных. В тех случаях, когда мы могли бы теперь написать dy/dx = { some-function }, вопрос касается методов Ньютона для выражения как левой, так и правой частей. «Уравнения», как мы теперь их обозначаем, были лишь одним из нескольких способов, которыми он записывал отношения такого рода, как можно видеть из следующих примеров и их источников.

Комментарий, данный Майклом Е2, показывает один из способов (флюксионное обозначение), которым Ньютон указал производную, для которой мы могли бы теперь написать dy/dx. Помимо этого, Ньютон также использовал другие способы обозначения производных или скоростей изменения, не все из которых были связаны с записью флюксий, а некоторые из них вообще не включали символы.

Один примечательный пример можно найти, например, в Предложении 34 (Книга 3) Принципов . Здесь Ньютон взялся «найти хорарную вариацию наклона орбиты Луны к плоскости эклиптики». Ньютон дал довольно сложную геометрическую характеристику величины этой вариации: в переводе она сводится к тройному произведению синусов/косинусов. Затем Ньютон продолжал (в предложении 35) интегрировать (упрощенный вариант) эту величину геометрически по времени, чтобы получить результат, показывающий периодическое изменение фактического наклонения орбиты в любой момент времени (строго, его отличие от средний наклон, играющий здесь роль произвольной постоянной при интегрировании).

Из всего этого, особенно из интегрирования, становится ясно, что ньютоновская «хорарная вариация наклона» означала то, что мы могли бы теперь записать как di/dt, где i — наклон, а t — время. PS Лаплас позднее трактовал это так. Таким образом, когда Лаплас рассмотрел тот же отрывок у Ньютона, он «перевел» ньютоновское геометрическое выражение для значения «хорарной вариации» в тригонометрическую формулу (см. Лаплас П. С., Traite de Mecanique Celeste, том 5 (1825), livre XVI, гл.2, ст.3 на стр.375, обсуждается склонение со стр.379 и далее, на ( https://books.google.com/books?&id=UdZGAQAAMAAJ )). Затем Лаплас развил его интеграл (который он сделал с большей общностью, чем трактовка Ньютона, которая перед интегрированием требовала некоторого упрощения, но это не имеет значения).

Приведенный до сих пор пример показывает, что Ньютон использовал для интересующей его величины скорости изменения геометрическое определение (которое можно было перевести — а позже перевести — в тригонометрическую систему обозначений). В других примерах он использовал алгебраические ряды, но использование Ньютоном алгебраических рядов, по-видимому, связано в первую очередь с более ранним периодом его карьеры. Когда Ньютон действительно использовал ряды, его обозначения терминов иногда не слишком отличались от того, что можно было бы написать сейчас, за исключением таких деталей, как ааа для$a^3$и так далее. См., например , The Mathematical Papers of Isaac Newton , Volume II: 1667-1670, (ed.) DT Whiteside (1968), ( https://books.google.com/books?id=AQ3tveOwseoC ), где стр. 206 и далее . дайте латинскую и английскую версии работы Ньютона «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов» и покажите некоторые из его приемов записи таких рядов.

В «Переписке Исаака Ньютона», т. 1, стр. 52 (24 декабря 1670 г., Джон Коллинз Джеймсу Грегори) Коллинз сообщил, среди прочего, полученный от Ньютона, ряд Ньютона для арксинуса. Более подробное описание того, как Ньютон получил это (путем почленного интегрирования ряда, полученного биномиальным разложением 1/$\sqrt(1-x^2)$) приводится, например, (но с модернизированными обозначениями) в «Галерее исчисления: шедевры от Ньютона до Лебега» Уильяма Данэма (2005), на стр. 17. (Похоже, что целью Ньютона при использовании ряда, по крайней мере в этом случае, было «получить лучшее приближение»: скорее, это было преобразование выражения, которое было фактически неразрешимым в его нынешнем виде, в легко интегрируемую форму.)

(Джон Коллинз был известным математическим «интеллектуалом» времен Ньютона, который видел ряд ньютоновских (часто алгебраических) изобретений и сообщал о них своим корреспондентам. сомнение в алгебраической форме от Ньютона, потому что Ньютон (и Бэрроу) тогда «начали думать, что математические рассуждения станут, по крайней мере, красивыми и сухими, если не несколько бесплодными» (Isaac Newton Corresp vol 1 p.355 (19 октября 1675, Джон Коллинза Джеймсу Грегори)) Письмо оказалось пророческим, поскольку Коллинз больше никогда ничего не слышал о математике от Ньютона, а Ньютон больше обращался к языку геометрии, чтобы выразить свои математические исследования.его (как сообщается) растущее недовольство тем видом математики, которым он занимался до того времени, возможно, заслуживает более полного исследования.)