Как обстоят дела с импульсом в бесконечном прямоугольном колодце?

• Оператор импульса$P=-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ симметричен при ограничении компактным интервалом скважины? Есть какие-то тонкости в его определении, через свой домен или подобное, которых нет у реаллайн версии?

(далее я предполагаю, что гильбертово пространство$L^2([0,1],dx)$.)

Это зависит от точного определения домена$P$. Естественный выбор это

$$D(P) = \{\psi \in C^2([0,1])\:|\: \psi(0)=\psi(1)=0\}\:.\tag{1}$$ С этим определением$P$симметрична : ( а ) область плотна в$L^2([0,1], dx)$б) оператор эрмитов $$\langle P\psi| \phi \rangle = \langle \psi| P\phi \rangle\quad \mbox{for $\psi, \phi \in D(P)\:.$}\tag{2}$$ Вы можете считать различные определения домена более или менее эквивалентными. Дело в том, что самосопряженное расширение связано с замыканием$P$а не к$P$само по себе, и у вас может быть несколько возможностей получить одно и то же закрытие из разных доменов. Ситуация аналогична тому, что происходит на реальной линии. Там$P$можно определить как дифференциальный оператор на$C_0^\infty(\mathbb R)$или же$\cal S(\mathbb R)$(пространство Шварца), или$C^1_0(\mathbb R)$а также толкование производной в слабом смысле. Во всех случаях закрытие$P$то же самое.

• Оператор импульса$P=-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ самосопряженным в этих условиях? Если нет, то почему, и каковы последствия с точки зрения вещей, о которых мы обычно заботимся при выполнении одномерного QM?

Он не является самосопряженным с указанным выбором своей области (или с любой тривиальной модификацией этой области). Следствием этого является то, что он не допускает спектрального разложения в существующем виде и, следовательно , не является наблюдаемой, поскольку с ним не связан PVM.

Определение$P= -i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$на реальной линии с одним из указанных выше доменов возникает та же проблема.

Общий факт заключается в том, что дифференциальные операторы никогда не бывают самосопряженными , потому что сопряженный дифференциальный оператор не является дифференциальным оператором, поскольку он не может различать гладкие и негладкие функции, поскольку элементы$L^2$являются функциями с точностью до множеств нулевой меры. Не более чем симметричный дифференциальный оператор может быть существенно самосопряженным , т. е. он допускает единственное самосопряженное расширение (совпадающее с замыканием исходного оператора). Этот уникальный самосопряженный оператор является истинной наблюдаемой теории.

• Если оно не самосопряженное, то допускает ли оно самосопряженное расширение ?

Yes. The canonical way is checking whether defect indices of $P$ with domain (1) are equal and they are. But the shortest way consists of invoking a theorem by von Neumann:

If a (densely defined) symmetric operator commutes with an antilinear operator $C$ defined on the whole Hilbert space and such that $CC=I$, then the operator admits self-adjoint extensions.

In this case $(C\psi)(x):= \overline{\psi(1-x)}$удовлетворяет гипотезе.

Если да, то является ли это расширение уникальным?

НЕТ, это не так, оператор по существу не является самосопряженным.

Если расширение не уникально, каковы возможные варианты и в чем их отличия? Несут ли эти различия физический смысл/ассоциации/следствия? И вообще, что такое самосопряженные расширения, и где я могу прочитать о них?

Имеется класс самосопряженных расширений, параметризованных элементами$\chi$из$U(1)$. Эти расширения определены для соответствующего расширения домена.

$$D_\chi(P) := \{\psi \in L^2([0,1],dx)\:|\:\psi' \mbox{in weak sense exists in $L^2([0,1],dx)$ and $\psi(1) = \chi\psi(0)$} \}\:.$$ (Можно доказать, что с указанным определением$D_\chi$определение соответствует:$\psi$непрерывен, так что$\psi(0)$а также$\psi(1)$имеет смысл.) Далее самосопряженное расширение$P$над$D_\chi(P)$снова$-i\hbar \frac{d}{dx}$где производная интерпретируется в слабом смысле. Самый простой случай$\chi=1$и у вас есть стандартный оператор импульса с периодическими граничными условиями , то есть самосопряженный. Другие самосопряженные расширения являются тривиальными изменениями этого определения. Я не знаю физического смысла этих разных выборов (если они вообще есть): теория на данном этапе слишком элементарна, чтобы представить какую-то физическую интерпретацию. Возможно, с улучшенной моделью возникает физическая интерпретация.

• Что такое спектр и собственные векторы оператора импульса и его расширений? Чем они отличаются друг от друга? Есть ли такая вещь, как представление импульса в этой настройке? Если нет, то почему?

Вы можете легко вычислить спектр, который представляет собой спектр чистой точки, а собственные векторы представляют собой сдвинутые экспоненты. Если$\chi = e^{i \alpha}$куда$\alpha \in \mathbb R$, и мы обозначаем через$P_\alpha$ассоциированное самосопряженное расширение$P$набор собственных векторов

$$\psi^{(\alpha)}_n(x) = e^{i(\alpha + 2\pi n)x}$$ с собственными значениями $$p^{(\alpha)}_n := \hbar(\alpha + 2\pi n)\quad n \in \mathbb Z\::$$ Набор$\psi^{(\alpha)}_n$является базисом Гильберта, так как он связан со стандартным базисом экспонент с помощью унитарного оператора$(U_\alpha \psi)(x) = e^{i\alpha x} \psi(x)$. По существу теорема Нельсона и теорема о спектральном разложении доказывают, что$P_\alpha$имеет чистый точечный спектр, состоящий из вещественных чисел$p_n^{(\alpha)}$. Таким образом, импульсное представление существует, как вы можете сразу доказать.

• Какова связь между оператором импульса (и его возможными расширениями) и гамильтонианом?

Как известно, если начать с формы$H := -\hbar \frac{d^2}{dx^2}$на$D(H):= \{\psi \in C^2([0,1]) \:|\: \psi(0)=\psi(1) =0\}$(я предполагаю$2m=1$) это по существу самосопряженный, хотя соответствующий оператор импульса с областью определения (1) нет. (Доказательство сразу вытекает из теоремы Нельсона, поскольку$H$симметрична и допускает гильбертов базис собственных функций.)

Однако есть также разные кандидаты на роль оператора Гамильтона, возникающего при взятии второй степени каждого самосопряженного расширения оператора$P$с доменом (1). Спектр состоит из вторых степеней элементов спектра соответствующего самосопряженного расширения$\hbar^2(\alpha + 2\pi n)^2$

Они ездят на работу? У них общая основа?

Импульс и связанный с ним гамильтониан коммутируют, и общий базис - это то, что написано выше для импульса.

Различные самосопряженные расширения и разные гамильтонианы не коммутируют, как вы легко доказываете непосредственным просмотром.

• Есть ли у этих проблем аналоги или объяснения в классической механике? ( подтолкнуть, подтолкнуть )

Я не знаю

И, что более важно: какие есть хорошие, полные и удобочитаемые ссылки, куда можно обратиться и получить больше информации об этом?

Не знаю, многие результаты распространены в литературе. Собрать их все сложно. Хорошим справочником является учебник Рида и Саймона: Том I и II.

ПРИЛОЖЕНИЕ . Технический момент заслуживает небольшого обсуждения. Иногда при введении областей самосопряженности, как указано выше, в пространстве$L^2(I)$, куда$I\subset \mathbb{R}$— ограниченный интервал, функции$\psi$должны быть абсолютно непрерывными . Это требование фактически включено в условие, что слабая производная $\psi'$существует и входит в$L^1$(или же$L^2$поскольку$I$ограничен). В самом деле, измеримая функция$\psi:I \to \mathbb{C}$абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда она допускает слабую производную в$L^1(I)$. В этом случае, поскольку функция абсолютно непрерывна, ее производная существует почти всюду и совпадает с$\psi'$.

Заявление$p = -i \hbar d/dx$это выражение для оператора$p$когда она написана в заданной основе (основе положения). Этот оператор представляет физическую величину, которую мы называем импульсом. Оба эти утверждения совершенно не связаны с гамильтонианом и останутся верными независимо от того, какой у вас гамильтониан.

Сказав это, если вы собираетесь рассматривать строго нефизические случаи, такие как бесконечная потенциальная энергия, то вам иногда может понадобиться действовать осторожно.

Если вы сомневаетесь в бесконечном квадратном колодце, вернитесь к чему-то более физическому, такому как конечный квадратный колодец или конечный колодец с плоским дном и плавным градиентом по краям. Тогда все (по крайней мере концептуально) просто, и можно посмотреть, что происходит в пределе, когда глубина ямы стремится к бесконечности.