На данный момент я немного запутался в обозначениях в некоторых учебниках по QM. Некоторые говорят, что операторы должны быть симметричными, некоторые говорят, что они должны быть по существу самосопряженными, другие, что они должны быть самосопряженными ( или во многих случаях эрмитовыми, что может означать симметричность или самосопряженность). Какое условие нам нужно для наших наблюдаемых (поскольку они не совпадают в случае бесконечномерного гильбертова пространства)?
Если достаточно симметричности или существенно самосопряженности, то почему мы можем найти атонормированный базис собственных векторов (поскольку спектральная теорема верна только для самосопряженных операторов)?
Причина, по которой нам нужна самосопряженность для наблюдаемых, в основном состоит в том, что мы требуем, чтобы их спектр был реальным.
Однако охарактеризовать точную область самосопряженности часто бывает затруднительно, тогда как легче охарактеризовать некоторые ее ядра. Поэтому существенная самосопряженность на заданном (обычно легко определяемом) ядре полезна, поскольку тогда самосопряженное расширение единственно.
Симметричные, но не самосопряженные операторы могут не иметь реального спектра, и, кроме того, они не порождают унитарных групп операторов, которые физически реализуют симметрии, как это делают самосопряженные операторы. Поэтому они не являются хорошими кандидатами на роль физически релевантных.
Прежде всего, с практической/физической точки зрения вы увидите, что на самом деле это не имеет никакого значения, это просто математические детали. Но я понимаю желание иметь математически точно определенную теорию.
На самом деле наблюдаемые должны быть самосопряженными, и причина в том, как вы догадались, что нам нужна спектральная теорема (см., например, здесь ).
Поскольку существенно самосопряженный оператор имеет единственное самосопряженное расширение, на самом деле не имеет значения, запишем ли мы самосопряженный оператор или «просто» существенно самосопряженный.
На лекции по физике профессор обычно записывает оператор импульса только как
без указания области и доказать, что она симметрична, неявно предполагая, что волновые функции непрерывно дифференцируемы, или что-то подобное. Объяснение области определения неограниченных операторов и введение пространств Соболева и т. д. заняло бы много времени и, возможно, принесло бы мало пользы.
Тогда это свойство будет называться «эрмитовым», что, по-видимому, используется в значении «самосопряженный, но нас не интересуют подробности». (Насколько я знаю, первоначально предполагалось, что эрмитов означает ограниченный самосопряженный. См. также здесь .)
Странное поле
юггиб