Почему квантовая механика не довольствуется симметричными операторами, а хочет самосопряженных операторов?

Я почти уверен, что здесь уже есть ответ на этот вопрос, но я не могу его найти (это всегда о неограниченности).

Для гамильтониана ответ в основном дается теоремой Стоуна об однопараметрических унитарных группах . Существует взаимно однозначное соответствие между самосопряженными операторами и сильно непрерывными однопараметрическими семействами унитарных операторов.

Почему это важно? Гамильтониан важен, потому что он должен дать нам динамику нашей системы, т.е. он будет определять развитие квантовой системы во времени. Однако такая временная развертка должна быть однопараметрической унитарной группой.$U(t)$. Это связано с тем, что мы хотим, чтобы правило Борна выполнялось:

Если$|\psi\rangle\in\mathcal{H}$это состояние в вашем гильбертовом пространстве, нам нужно, чтобы$1=\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle U(t)\psi|U(t)\psi\rangle$, т. е. состояние остается нормализованным, так что оно по-прежнему является распределением вероятностей. Но потом$U(t)$должен быть унитарным по самому определению унитарного оператора. Однако теорема Стоуна говорит нам, что генераторы унитарных групп являются самосопряженными операторами, а не только симметричными. Конечно, в теореме говорится только о сильно непрерывных группах, но существуют примеры симметричных и несамосопряженных операторов, которые порождают просто неунитарную группу (некоторая форма оператора для эффекта Штарка делает свое дело, если я правильно помню)

Еще одна проблема, упомянутая в комментарии, — это проблема со спектральной теоремой: для любого наблюдаемого его спектр говорит нам что-то о возможных результатах измерения, но у нас может просто не быть спектрального разложения, если оператор просто симметричен. Неограниченные операторы могут даже иметь пустой спектр, но я не знаю, существуют ли симметричные неограниченные операторы с пустым спектром (наверняка существуют антисимметричные операторы с пустым спектром). Если вы рассматриваете измерение фон Неймана, одна из аксиом говорит вам, как выглядит состояние после измерения — здесь задействована проекция. Но эта проекция не может быть четко определена, если у вас нет спектрального разложения.

Вы также можете взглянуть на то, что называется «Псевдоспектры». Учитывая несамосопряженный оператор, он может иметь «приближенные собственные функции» к «псевдособственным значениям», которые очень далеки от спектра (в том смысле, что для заданного оператора$A$, существует$\lambda\notin \operatorname{Spec}(A)$таким образом, что может быть$x\in\mathcal{H}$с

и такие вещи могут существовать очень далеко от спектра для любого$\varepsilon>0$вы хотите; см. книгу Дэвиса «Линейные операторы и их спектры»). Я мало что знаю об этом и о том, как это может быть проблемой, но это может дать вам больше стимулов в отношении того, почему «просто» симметричные операторы могут не работать.

Спектральная теорема верна только для нормальных операторов. Самосопряженные операторы нормальные, симметричные — нет.

Говоря языком физиков, мы хотим, чтобы обобщенные собственные векторы исходили из «полного базиса» гильбертова пространства. Например, обобщенные собственные векторы оператора импульса в представлении положения представляют собой плоские волны, и хотя они сами не являются частью нашего гильбертова пространства, любую волновую функцию можно разложить на суперпозицию плоских волн. Это возможно только потому, что оператор импульса самосопряжен.