Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?

Короткий ответ: нет, такой функции нет.

Действительно, неверно, что$f\in L^2(\mathbb R, dx)$обращается в нуль на бесконечности, как известно (в PSE также есть ответы на этот вопрос), но также верно, что если$D(P)$является областью определения оператора импульса$P$над реальной линией,

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$f \in D(P)\quad$подразумевает, что$\quad f(x) \to 0\quad$как$\quad x\to \pm\infty$.

Докажем этот факт.

Прежде всего, обратите внимание, что один из эквивалентных способов определения$D(P)$чтобы иметь правильно самосопряженный оператор импульса в$L^2(\mathbb R , dx)$является

$$D(P) := \left\{\: \left.f \in L^2(\mathbb R, dx)\:\right|\: \exists \: f' \mbox{in weak sense and } f' \in L^2(\mathbb R, dx)\right\}\:,$$ а потом, где$f'$является слабой производной от$f$, оператор импульса определяется как самосопряженный оператор $$Pf = -i\hbar f'\:.$$ Итак, допустим$f\in D(P)$. С$[s,s']$имеет конечную меру Лебега$f\in L^2([s,s'], dx)$подразумевает$f\in L^1([s,s'], dx)$, так$F(s) := \int_{s'}^s f'(x)dx$существует. Очевидно, что она также является непрерывной функцией в силу свойств интеграла. Из известных теорем реального анализа известно также, что $$f(s')-f(s) = \int_s^{s'} f'(x)dx \quad \mbox{almost everywhere}\:.\tag{1}$$ В частности, мы можем исправить$f$быть непрерывным всюду, так как, изменяя$f$над множеством нулевой меры,$f(x)= f(s)+ F(x)$.
Теперь мы можем воспользоваться неравенством Чоси-Шварца в (1): $$|f(s')-f(s)| \leq \int_s^{s'} |f'(x)| |1|dx \leq \sqrt{\int_s^{s'} |f'(x)|^2 dx}\sqrt{\int_{s}^{s'}|1|^2 dx} \leq ||f'||_{L^2} \sqrt{|s-s'|}\:.$$ Заметить, что$||f'||_{L^2} <+\infty$по гипотезе. оценка $$|f(s)-f(s')| \leq ||f'||_{L^2} \sqrt{|s-s'|},$$ который действителен везде с нашим выбором$f$, подразумевает, что$f$равномерно непрерывно во всем$\mathbb R$.

В заключение я доказываю, что

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Если$f: \mathbb R \to \mathbb C$равномерно непрерывна и$f\in L^p(\mathbb R, dx)$, для некоторых$p>0$(в частности$p=2$) затем$f(x) \to 0$как для$x\to +\infty$и$x\to -\infty$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что неверно, что $f(x) \to 0$для$x\to +\infty$(другой случай аналогичен). Мы можем предположить, что$f$действительно ценен, так как если тезис ложен либо$Ref$или$Im f$(которые принадлежат$L^p$и равномерно непрерывны) не стремятся к$0$как$x \to \pm \infty$. Следовательно, существует$M>0$и последовательность$x_n \to +\infty$как$n\to +\infty$такой, что$|f(x_n)| >M$. Как следствие, я могу извлечь подпоследовательность, удовлетворяющую$f(x_{n_k})>M$для каждого$k$или$f(x_{n_k})< -M$для каждого$k$. Я полагаю, что верно первое, поскольку второе можно рассматривать аналогично. С$x_{n_k} \to +\infty$как$k\to +\infty$, я могу извлечь другую подпоследовательность$x_{n_{k_h}} \to +\infty$как$h\to +\infty$такой, что$x_{n_{k_{h+1}}}- x_{n_{k_h}}>1$и, как сказано$f(x_{n_{k_h}})>M$.

Для простоты я далее определяю$s_h := x_{n_{k_h}}$.

Теперь заметим, что по равномерной непрерывности, если$\epsilon = M/2$, есть$\delta>0$такой, что

$$|f(s)-f(s_h)|< M/2 \quad \mbox{if $|s-s_h|<\delta$ for every $h\in \mathbb N$.}$$
Следовательно $$-M/2 <f(s)- f(s_h)< M/2$$ так что, в частности $$M/2 < f(s_h) -M/2 < f(s)\quad \mbox{if $|s-s_h|<\delta$.}$$ Подводя итог, принимая$\delta < 1/2$если необходимо, мы имеем бесконечный класс попарно непересекающихся интервалов$I_h = [s_h-\delta,s_h+\delta]$одинаковой длины$2\delta>0$где$f(s) > M/2 >0$. Поэтому $$\int_{\mathbb R} |f(x)|^p dx \geq \sum_{h\in \mathbb N} \int_{I_h} |f(x)|^p dx \geq \sum_{h\in \mathbb N} 2\delta M^p/2^p= +\infty\:.$$ Это невозможно, так как$f\in L^p(\mathbb R, dx)$и, таким образом, указанные последовательности не существуют и$f(x) \to 0$для$x\to \pm \infty$. КЭД