Как определить след и определитель дифференциального оператора?

Как определить след и определитель оператора типа ◻ или ∇ 2 и т.д. Но прежде всего как найти то же самое для более простого оператора г г Икс ? Я поступил следующим образом. Какие базовые функции я должен выбрать- { е я к Икс } или { дельта ( Икс − Икс ′ ) } ? Поскольку первый базис является диагональным базисом, вычисление трассы и определителя будет проще. к к ′ -матричный элемент задается

∫ − ∞ ∞ е − я к Икс г г Икс е я к ′ Икс "=" 2 π я к дельта ( к − к ′ ) .
Теперь задача состоит в том, чтобы определить след и определитель. Так как в дискретном случае
∑ я , Дж А я Дж дельта я Дж "=" ∑ я А я я
дает след матрицы A. Тогда можем ли мы найти след как
∫ г к ∫ г к ′ 2 π я к дельта ( к − к ′ ) .
Но результат бесконечен! Правилен ли этот подход?

Изменить . Если нет, укажите правильный метод и ожидаемый результат.

Ваш подход довольно хорош (выберите диагональную основу), и расхождение правильное, но может быть не так плохо, как кажется (по крайней мере, если контекст для этого вопроса делает qft). Вам нужно перенормировать, что означает, что вы можете поглотить расхождение в некоторые параметры теории. Каноническим примером такого расчета, который я предлагаю найти, является потенциал Коулмана-Вайнберга (он сводится к вычислению tr(log(box+V''), где V — потенциал).

Ответы (2)

В бесконечных измерениях вы можете определить след только для специального класса компактных операторов : так называемых операторов класса следа. Учитывая гильбертово пространство ЧАС , пространство трассовых операторов я 1 ( ЧАС ) является двусторонним идеалом ограниченных операторов л ( ЧАС ) .

Две операции Т р и Д е т ( 1 + ⋅ ) определяется следующим образом:

Т р : А ↦ Т р ( А ) , Д е т ( 1 + ⋅ ) : А ↦ Д е т ( 1 + А ) ,
обладают следующими свойствами:

  • первый является линейным ограниченным функционалом на я 1 ( ЧАС ) ;

  • вторая является непрерывной функцией на я 1 ( ЧАС ) .

Операторы, которые вы цитируете (все они), не ограничены . Таким образом, вы никоим образом не можете ожидать, что их след (или определитель) будет конечным, поскольку это все равно, что ожидать, что ∑ н "=" 0 ∞ н конечно.

Тайский - это не идея, используемая физиками. Все рассматриваемые операторы не компактны (иногда их резольвента является). Наиболее популярные процедуры имеют дело с некоторым тепловым ядром или ζ -процедура регуляризации функции. На самом деле, если резольвента является ядерной, они аналитически продолжают след обратной степени резольвенты, как это происходит в определении резольвенты. ζ функция...
@ValterMoretti: перенормировка определителя дет М неограниченного оператора М по сути состоит из написания оператора А как продукт М "=" М 0 ( 1 + А ) где А это класс трассировки и М 0 известен. Затем дет М "=" дет М 0 + дет ( 1 + А ) при любой регуляризации. Величина (в пределе бесконечная) дет М 0 должны строго сокращаться во всех наблюдаемых величинах, вычисленных на основе этого, чтобы процедура регуляризации была математически непротиворечивой. Это согласовывает вашу точку зрения с (правильным) ответом yuggib.
@ValterMoretti, у вас есть достаточно свежий и доступный источник по этому вопросу. Целевая аудитория — студенты-физики старшего уровня с довольно хорошим математическим образованием.
Извините, что нет, я перестал заниматься этими темами много лет назад (примерно 15 лет назад, когда был на первых этапах своей карьеры). Я написал книгу (аналитические аспекты квантовых полей), опубликованную World Scientific вместе с другими авторами, но я подозреваю, что в настоящее время есть гораздо лучшие источники.
@ArnoldNeumaier Можете ли вы порекомендовать что-нибудь современное и читаемое старшекласснику-физику с хорошим математическим опытом, но не с функциональным анализом? В идеале к этому подходили бы с точки зрения физики, а не с точки зрения теоремы.
@ZeroTheHero: Думайте (как это делал Гейзенберг) об операторах как о бесконечных матрицах. След определен, только если бесконечная сумма диагональных элементов сходится абсолютно. Учитывая оператор, вы можете представить его как бесконечную матрицу с помощью его матричных элементов в любом ортонормированном базисе. Возможно, том 3 «Математической физики» Тирринга подойдет вам, чтобы познакомить вас с функциональным анализом в квантовой физике, хотя в нем явно не рассматривается вышеуказанная проблема.
@ArnoldNeumaier Я попрошу студента найти Тирринга. Наша проблема заключается в том, что наши операторы не являются трассировочными, а физические состояния сосредоточены в одной части гильбертова пространства (нерепрезентация SU(1,1)), поэтому хардкорные математические результаты не помогут, и нам, вероятно, понадобится использовать какой-либо аргумент физики, чтобы найти (или не найти) решение. Физика предполагает, что должно быть решение, но, возможно, оно должно заключаться в расширении когерентных состояний или чем-то подобном (а не на основе веса), чтобы зафиксировать эту особенность концентрации.
@ZeroTheHero: я добавил ответ с более подробной информацией.

Перенормировка определителя дет М неограниченного оператора М всегда имеет следующий тип:

По сути, он состоит из написания оператора А как продукт М "=" М 0 ( 1 + А ) где А это класс трассировки и М 0 известен. Затем дет М "=" дет М 0 дет ( 1 + А ) в любой регуляризации (т. е. представлении через пределы ограниченных операторов). Величина (в пределе бесконечная) дет М 0 должны строго сокращаться во всех наблюдаемых величинах, вычисленных на основе этого, чтобы процедура регуляризации была математически непротиворечивой.

Обычно этот бесконечный множитель является определителем точно решаемой системы, в которой интересующий определитель можно рассматривать как (относительно компактное) возмущение.

В книге '' Идеалы следов и их приложения '' Б. Саймона процедура регуляризации обсуждается более подробно в главе 9. А трассировочный класс.)

Как определить след и определитель дифференциального оператора?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v