Алгебраическая формулировка КТП и неограниченные операторы

В AQFT каждый определяет структуру наблюдаемых как С * -алгебра. Кажется, это исключает алгебры, не имеющие нормы, такие как алгебра Гейзенберга. К счастью, в этом случае можно обратиться к алгебре Вейля.

Всегда ли возможен этот трюк?

Дополнительный материал:

  • Связано с этим сообщением Phys.SE.

  • В книге Хаага "Локальная квантовая физика" стр.5 он говорит, что всегда можно свести к изучению ограниченных операторов, как это обсуждалось в И.Е. Сегале "Постулат общей квантовой механики" 1947. Однако я не вижу ответа на этот вопрос. вопрос в этой статье.

  • Кажется, что из самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве всегда можно определить унитарный оператор, Reed & Simon Thm VIII.7.

Ответы (1)

Проблема может рассматриваться с нескольких точек зрения. Прежде всего, можно просто использовать (unital) * -алгебра (так называемая алгебра Борхерса-Ульмана в случае КТП), тем самым отбрасывая любое требование ограниченности наблюдаемых, и все основные черты алгебраического подхода сохраняются, как и конструкция GNS . Хотя, очевидно, некоторые технические детали усложняются, поскольку соответствующие топологические свойства должны быть введены другими способами (в терминах полунорм, возможно, индуцированных физически осмысленным классом состояний).

Однако, придерживаясь правильного С * -алгебр и, таким образом, имея дело с (абстрактными) ограниченными наблюдаемыми, требование ограниченности не так уж физически несостоятельно, как может показаться на первый взгляд. Предположим, что мы работаем в заданном гильбертовом пространстве с конкретными алгебрами операторов и сосредоточиваемся на неограниченной наблюдаемой А . Эксперименты могут оценить только произвольно большой, но конечный диапазон значений [ − н , н ] из А . Так, относительно значений, достигнутых А , невозможно различить

А "=" ∫ о ( А ) λ г п ( А ) ( λ )

(где мы использовали спектральное разложение А ) и ограниченной наблюдаемой, скажем:

А н "=" ∫ [ − н , н ] ∩ о ( А ) λ г п ( А ) ( λ ) ,
удовлетворяющий | | А н | | ≤ н .

Можно провести различие между этими двумя наблюдаемыми, опираясь на теоретические вопросы. Например А (но нет А н ) может быть генератором физически значимой унитарной симметрии рассматриваемой физической системы.

В любом случае весь класс ограниченных наблюдаемых { А н } н е Н включает в себя всю физическую и математическую информацию о А сам. В частности, математически говоря, А н → А в сильной операторной топологии для н → + ∞ при работе на домене А .

Наконец, даже начиная с абстрактного С * -алгебры, физически значимые неограниченные наблюдаемые всегда возникают, как только фиксируется алгебраическое состояние и представляют алгебру в ассоциированном ОНС гильбертовом пространстве. Здесь, например, все непрерывные симметрии, которыми пользуется государство (и представленные С * -алгебр автоморфизмы, оставляющие инвариантным состояние) реализуются (сильно непрерывно) унитарно и, следовательно, допускают (вообще говоря, неограниченные) самосопряженные образующие, имеющие физический смысл. Все сохраняющиеся величины (энергия, импульс и т. д.), обычно представляемые неограниченными самосопряженными операторами, входят в теорию таким образом, что касается, например, локального уравнения Вейля. С * алгебра полевых операторов в КТП, как только выбрано эталонное состояние.

(Стоит подчеркнуть, что та же самая процедура может порождать правила суперотбора в дополнение к тем, которые уже присутствуют в абстрактном С * -алгебры наблюдаемых. Они связаны с выбором исходного состояния, в котором одно представляет теорию и алгебру фон Неймана, порожденную представлением GNS.)

Спасибо за этот подробный ответ! Верно ли, что для данной C*-алгебры конструкция ОНС для непрерывного положительного функционала дает представление в виде ограниченных операторов, а для прерывистого функционала — неограниченных операторов? И, наконец, являются ли аксиомы АКФТ ограничительными или нет? охватывают ли они все ситуации?
Непрерывность не обязательна: положительный линейный функционал на С * -алгебра всегда непрерывна. Для * непрерывность -алгебр вовсе не обязательна (и не может быть навязана, поскольку естественной топологии нет), найденные операторы неограничены, но плотно определены на общей области определения и замыкаемы. В общем случае симметричные, к сожалению, по существу не являются самосопряженными (это очень сложный вопрос).
Я все еще хочу придерживаться C*-alg. Во второй части ответа «алгебраическое состояние» означает просто «состояние»? Тогда у нас есть представление и мы можем найти неограниченные операторы, такие как генераторы сильно непрерывной однопараметрической группы унитарных? но нам нужно представление, и мы не можем просто рассмотреть группу автоморфизмов с одним параметром на абстрактном C*-alg, я правильно понимаю?
Да, я имею в виду государство. Да, неограниченные операторы возникают как генераторы, как вы сказали. Вам нужна пара состояний группы автоморфизмов ( ю , { α т } ) такой, что ю ( α т ( а ) ) "=" ю ( а ) и т → ю ( а α т ( б ) ) является непрерывным. В этом случае в GNS представитель ю : π ( α т ( а ) ) "=" U т π ( а ) U т * для некоторых однопар. сильно непрерывная унитарная группа U т с U р Ψ ю "=" Ψ ю ( Ψ ю циклический вектор).
Что касается алгебраической КТП, то использовать ее или нет — дело личного вкуса. Лично мне очень нравится. Некоторые технические детали просты, например, УФ-перенормировка в искривленном пространстве-времени, что обобщение формулировки Эпштейна Глейзера немедленно дает конечные контрчлены без вычитания бесконечностей. И для этого не нужно формулировать эталонное квантовое состояние (вакуум).
Алгебраическая формулировка КТП и неограниченные операторы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v