В квантовой теории поля нам иногда приходится брать «след» распределения , . Это происходит, например, когда мы пытаемся расширить определитель оператора Дирака
Эти следы плохо определены математически, потому что они расходятся. Простым примером будет просмотр дистрибутива , след которого считается . Каким-то образом физикам удается обходиться без этих бесконечных факторов и все равно получится что-то толковое. В случаях, которые я видел, эти факторы обычно предполагаются связанными с объемом пространства, принимаемым за бесконечность.
Поскольку эти объекты не относятся к классу трассировки, смысл этих вычислений не гарантируется. Предполагается, что трасса имеет одно и то же значение независимо от того, на какой основе вы ее вычисляете, так же как и трасса в позиционном пространстве так же, как и в импульсном?
Если на то пошло, как взять след распределения, подобного , или произвольное количество производных, действующих на дельта-функцию?
Математики, кажется, думают, что это невозможно сделать, но физики нашли способы получить разумные результаты! Должен быть какой-то способ определить это правильно, верно?
Да, в некоторых случаях след связан с объемом пространства. Однако правильнее было бы сказать, что оно связано с мощностью пространства, другими словами, с количеством модусов в пространстве. Люди обычно обходят проблему бесконечной мощности, уменьшая количество модусов до конечного числа. Это делается с помощью некоторой формы регуляризации. Величины, которые были бы бесконечными, становятся конечными, и можно приступить к расчету. В конечном результате эти количества будут компенсированы, если результат представляет собой физическую величину. Если их нет, то обычно это означает, что что-то не так. После того, как они сократятся, можно отменить регуляризацию, которая сделала бы эти величины бесконечными. Поскольку они ушли, результат остается конечным.
На самом деле все это означает, что даже если вы работаете в пространстве, где некоторые из этих следов расходятся, результаты вычислений физических величин, которые можно, например, получить из измерений, всегда будут конечными. Вопрос только в том, как произвести расчет с этими бесконечностями, чтобы они сокращались. Причина, по которой трудно работать с бесконечностями, заключается в том, что они подчиняются кардинальной арифметике . Регуляризация преобразует их в порядковые числа, чтобы с ними можно было обращаться обычным способом с помощью порядковой арифметики. Затем, после того как они сократятся, можно взять необходимый предел, чтобы убрать регуляризацию.
Надеюсь, поможет.
несколько
флиппифанус