Как орбитальное движение уменьшенной массы говорит нам о том, как движутся отдельные планеты/звезды?

Мне кажется, выбор конкретного набора координат несколько размывает ответ на ваш вопрос.

Давайте начнем с самого начала и проследим основные шаги, необходимые для получения первого закона Кеплера в виде уравнения (29) на вашем рисунке (полярное представление коники).

Обычная стратегия состоит в том, чтобы написать уравнение движения для двух точечных масс.$m_1$и$m_2$в инерциальной системе отсчета:

$$\begin{align} m_1 {\bf \ddot r}_1 &= G\frac{m_1 m_2}{|{\bf r}_2-{\bf r}_1|^3}({\bf r}_2-{\bf r}_1)\\ m_1 {\bf \ddot r}_2 &= G\frac{m_1 m_2}{|{\bf r}_2-{\bf r}_1|^3}({\bf r}_1-{\bf r}_2) \end{align}$$

Оказывается, что в терминах следующих новых переменных уравнения упрощаются:

$$\begin{align} {\bf r} &= {\bf r}_2-{\bf r}_1\\ {\bf R} &= \frac{m_1 {\bf r}_1 + m_2 {\bf r}_2 }{m_1+m_2} \end{align}$$ Действительно, мы получаем следующие уравнения: $$\begin{align} {\bf \ddot R} &= 0 \tag{1}\\ \mu {\bf \ddot r} &= -G\frac{m_1 m_2}{|{\bf r}|^3}{\bf r} \tag{2} \end{align}$$ где приведенная масса $\mu$определяется как$\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$. Интерпретация уравнения ($1$) состоит в том, что центр масс движется равномерно прямолинейно. Уравнение ($2$) можно интерпретировать как уравнение движения тела массой$\mu$подчиняется силе закона тяготения Ньютона. Это орбита, полученная путем решения уравнения ($2$), что показано в уравнении ($29$) вашего текста.

Обратная замена координат:

$$\begin{align} {\bf r}_1 &= {\bf R}-\frac{m_2}{m_1+m_2}{\bf r} \tag{3}\\ {\bf r}_2 &= {\bf R}+\frac{m_1}{m_1+m_2}{\bf r} \tag{4} \end{align}$$ является ключевым компонентом для понимания того, как траектория, полученная путем решения уравнения ($2$) для вектора относительного положения${\bf r}$можно перевести через траектории двух тел в исходной инерциальной системе отсчета.

Действительно, уравнения ($3$) и ($4$) непосредственно показать, что в каждый момент времени$t$центр масс$\bf R$и две позиции${\bf r}_1$и${\bf r}_2$держитесь на одной линии. Более того, расстояние от центра масс пропорционально отношению массы каждого тела к общей массе.

Поэтому, если, решая уравнение ($2$), получим эллипс, описываемый вектором${\bf r}$, такое, что начало вектора находится в одном фокусе, уравнения ($3$) и ($4$) показать, что каждое тело$i$имеет траекторию, представляющую собой эллипс, масштабированный с помощью коэффициента$\frac{m_i}{m_1+m_2}$, относительно описанного${\bf r}$, но теперь фокус занимает положение центра масс.

Обратите внимание, что введение относительного положения${\bf r}$представляет собой нечто большее, чем чисто математический отрывок. Это согласуется с описанием задачи в неинерциальной системе отсчета с центром в одном из двух тел (тело$1$, с определением выше). Интересно, что вид приведенной массы можно получить как эффект записи уравнения движения тела$2$в неинерциальной системе отсчета с учетом ускорения тела$1$под действием гравитационной силы тела$2$. Таким образом, мы можем более ясно увидеть сосуществование двух разных описаний одного и того же явления:

1. в инерциальной системе отсчета у нас есть два тела, каждое из которых совершает эллиптическое движение с центром масс в общем фокусе.
2. в неинерциальной системе отсчета с центром в каждом из двух тел, другой описывает эллиптическую орбиту, имеющую один фокус в начале координат.

Последнее предостережение касается геометрического описания орбит. В то время как в случае системы отсчета с центром в одном из двух тел существует однозначное описание орбиты как конического сечения, имеющего другое тело в одном фокусе, в случае описания в инерциальной системе отсчета это только в системах отсчета, где центр масс покоится, можно говорить о конических сечениях. В самых общих инерциальных системах отсчета форма орбиты представляет собой композицию чистого переноса с конической траекторией.

Вот уравнение эллипса в полярных координатах, ЕСЛИ начало полярных координат находится в ФОКУСНОЙ точке.

$$r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos (\theta)} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Eq.2$$

Это не единственный способ записать уравнение эллипса. мы могли бы выбрать центр полярной координаты в центре эллипса, тогда

$$r(\theta) = \frac{b}{\sqrt{1-(e \cos (\theta))^2}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Eq.1$$

мы видим, что в наших физических уравнениях мы получили уравнение 1, которое говорит нам, что начало полярной координаты находится в фокальной точке, которая была нашим центром масс.

Теперь, если вы хотите посмотреть на положение каждой массы, все, что вам нужно сделать, это использовать одно из следующих уравнений.

$$r(\theta) = \frac{m_1 + m_2}{m_2} r_1(\theta) \\ r(\theta) = -\frac{m_1 + m_2}{m_1} r_2(\theta)$$ .

Вы можете видеть, что когда вы смотрите только на траекторию одной массы, у нас все еще есть уравнение, подобное уравнению 1. Разница лишь в том, что он умножается на коэффициент.