Ошибка в доказательстве теоремы вириала для гравитации

Теорема вириала $\langle U\rangle_t =-2\langle T\rangle_t$для средних по времени$\langle f\rangle_t=\frac{1}{T}\int_0^T\! \mathrm{d}t~f(t)$, в то время как OP считает угловые средние$\langle f\rangle_{\theta}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\! \mathrm{d}\theta~f(\theta)$. Эти средние в общем случае будут отличаться из-за большей (меньшей) угловой скорости в перигее (апогее) соответственно. Конечно, при эксцентриситете $e\propto B$равна нулю, угловая скорость постоянна, и различие не имеет значения.

Я хотел уточнить ответ Qmechanic.

Среднее угловое значение для$f(\theta)$является$\langle f(\theta)\rangle_\theta= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\theta) d\theta$. Среднее время$f(\theta)$является$\langle f(\theta)\rangle_t=\frac{1}{\tau}\int_0^{2\pi} \frac{f(\theta)}{\dot{\theta}} d\theta$.

Где$1/\dot{\theta}=\frac{m}{L(A+B\cos{\theta})^2}$и$\tau=\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{\dot{\theta}}$.

Это приводит к$\langle\cos {\theta} \rangle=-\epsilon$.

Соответствующие интегралы можно вычислить, установив$I=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{A+B\cos{\theta}}=\int_\lambda \frac{-idz}{z[1+\epsilon(\frac{z+1/z}{2})]}$и используя теорему об остатках. Тогда другие интегралы для вычисления средних могут быть определены производными от I. Наконец$\langle \cos{\theta}\rangle=-\epsilon=-B/A$. В конечном итоге это дает ожидаемый результат теоремы Вириала:$2\langle T\rangle/\langle V \rangle=-1.$