Я считаю, что эту проблему можно решить, используя полярные координаты. Уравнение коники в этих координатах:

$$r(\theta) = \frac{r_0}{1+e \cos (\theta + \phi)},$$

где$r$- расстояние до одного из фокусов эллипса (центра масс системы или центра звезды, если она намного массивнее объекта на орбите),$e$это эксцентриситет и$\theta$выбирается, например, так, что$\theta = 0$для вашего начального положения (не обязательно одной из осей эллипса). Для$e < 1$, траектория замкнута и соответствует эллипсу. Когда$e \geq 1$, планета убегает в бесконечность (парабола или гипербола), но я думаю, что остается верным следующее (только надо быть осторожным с допустимыми$\theta$х).

Теперь вам нужно преобразовать вашу «цель» из$x$,$y$координаты до$r_{\mathrm{target}}$,$\theta_{\mathrm{target}}$. Затем вам нужно найти соотношение между вашим начальным углом$\alpha$(фиксированная), начальная скорость$v_0$с$r_0$,$e$и$\phi$. Я не прорабатывал детали, но предполагаю, что это можно сделать, используя определение эксцентриситета и обратные тригонометрические функции. Я постараюсь изучить это. Теперь, когда у вас есть$r_0(\alpha, v_0)$,$e(\alpha, v_0)$и$\phi(\alpha, v_0)$, вы можете просто ввести в уравнение эллипса и посмотреть на$\theta = \theta_{\mathrm{target}}$. Вам это нужно

$$r_{\mathrm{target}} = r(\alpha, v_0, \theta = \theta_{\mathrm{target}}) = \frac{r_0(\alpha, v_0)}{1 + e(\alpha, v_0) \cos(\theta_{\mathrm{target}} + \phi(\alpha, v_0))}.$$

Я не знаю, самый ли это простой способ сделать это, но тем не менее я верю, что это можно сделать.

Если вы хотите проверить, существует ли решение , вам нужно задаться вопросом, что произойдет, если при заданном угле вы постепенно увеличите скорость. При низких скоростях вы быстро падаете к звезде. При очень большой скорости вы проходите все более и более вытянутый эллипс. Если вы выйдете за пределы скорости убегания, вы больше не будете следовать замкнутой траектории, а уйдете в бесконечность (парабола или гипербола). Если ваша скорость становится бесконечной, вы в основном идете по прямой линии. Для всех промежуточных скоростей вы в основном охватываете всю полуплоскость, разделенную прямой линией, проходящей через ваше начальное положение и параллельной вашей начальной скорости и содержащей звезду.

На картинке выше зеленая часть плоскости — это доступные позиции. Вы видите, например, что если вы хотите поразить цель, показанную здесь, вам понадобится скорость$v_0$между изображенным синим (эллипс) и красным (гипербола). Красная часть изображения, с другой стороны, соответствует точкам, к которым нельзя получить доступ, используя это значение$\alpha$.

Если вы нашли решение и хотите проверить, пройдете ли вы через звезду в какой-то момент, вам просто нужно проверить, соответствует ли минимальное расстояние, которое$r_0/(1+e)$больше или меньше радиуса звезды (при условии, что звезда очень массивна и фокусы эллипса слиты с центром звезды).

Надеюсь это поможет!

Предварительные расчеты:

эксцентриситет определяется как:

$$e = \sqrt{1 + \frac{2 \varepsilon h^{2}}{\mu^2}},$$

где$\varepsilon$- удельная орбитальная энергия (полная энергия, деленная на приведенную массу),$\mu$стандартный гравитационный параметр, основанный на общей массе, и$h$удельный относительный угловой момент (угловой момент, деленный на приведенную массу) (-> https://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_eccentricity ).

Предполагая большую массу звезды, так что приведенная масса$\mu$это просто масса планеты$m$а общая масса примерно равна массе звезды$M$, ты ищешь:

$$e = \sqrt{1 + \frac{2 (v_0^2 - \frac{2GM}{d}) d^2 v_0^2 \cos^2 (\alpha)}{G^2 M^2}},$$

где$d$- первоначальное расстояние от звезды до планеты, а$\alpha$определяется так, что$\alpha = 0$если скорость изначально чисто радиальная. Кстати, это дает вам уравнение второго порядка в$v_0^2$, что позволяет вам инвертировать его (хотя я не уверен, хотите ли вы инвертировать уравнение в этот момент...).

Затем, чтобы найти$\phi$, вы можете использовать вектор Лапласа-Рунге-Ленца ( https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2%80%93Runge%E2%80%93Lenz_vector ), определенный как$\overrightarrow{A} = \overrightarrow{p} \times \overrightarrow{L} - GMm^2 \overrightarrow{e_r}$, что указывает направление, для которого$\theta + \phi = 0$. Если вы выберете ось X так, чтобы она совпадала с вашим начальным положением, вы обнаружите, что$\overrightarrow{A} = m^2 v_0^2 d (\cos^2(\alpha) \overrightarrow{e_x} + \cos(\alpha) \sin(\alpha) \overrightarrow{e_y}) - GMm^2 \overrightarrow{e_x}$(Проверьте еще раз, пожалуйста). Из этого вы должны быть в состоянии найти$\phi$а потом$r_0$. Удачи!

Я думаю, что проблема, с которой вы здесь столкнулись, заключается в том, что не существует единого вектора, описывающего инерционный путь между различными точками пространства, а бесконечно много. Причина этого в том, что вы можете приблизиться к этой точке в любое время.

Для упрощения рассмотрим случай с бейсбольным мячом, который вы хотите бросить из точки А в точку В в линейно однородном гравитационном поле. Нас не волнует скорость, с которой он достигает точки B, или время, в которое он туда попадает, просто то, что он появляется там в какой-то момент.

В одном сценарии мы могли бы подбросить бейсбольный мяч очень высоко в воздух, чтобы он достиг максимальной высоты почти на полпути между питчером и точкой, в которую мы хотим попасть, и пересечь эту точку через несколько секунд, двигаясь почти прямо вниз.

Мы также можем выстрелить мячом как пулей, используя очень малый угол запуска, при котором максимальная высота мяча будет достигнута задолго после того, как мяч пересечет точку, которую мы планировали, так что мяч пересечет эту точку со своим вектором движение направлено почти полностью по горизонтали.

Между этими крайностями мы могли запустить мяч под любым углом, предполагая, что мы использовали точно правильную скорость, чтобы заставить его пересечь намеченную точку.

Поэтому я думаю, что ваш подход должен состоять в том, чтобы найти уравнение, связывающее угол и скорость, которые должна иметь планета, чтобы достичь желаемой точки.