Как получается логарифмическая поправка к энтропии неэкстремальной черной дыры?

Вполне может быть, что интуитивную картинку для логарифмической коррекции уже можно было найти в статье Ашоке Сена, которая была отправной точкой вопроса . (§2.5 Более высокие вклады в петлю) является причиной, по которой это не было очевидно на первый взгляд, но, как позже подчеркивали Чон и Лал во введении к 1707.04208 стр. 3:

Основная причина, по которой логарифмический член является важным вкладом в микроскопическую формулу, заключается в том, что он представляет собой подлинно квантовую поправку к формуле Бекенштейна-Хокинга, определяемую полностью из однопетлевых флуктуаций безмассовых полей , которые по существу составляют ИК-данные черной дыры. . [...] Логарифмический член можно рассматривать как ИК-зонд микроскопической теории в том смысле, что любое предполагаемое микроскопическое описание черной дыры должно правильно воспроизводить не только ведущий закон площадей Бекенштейна-Хокинга, но и логарифмическую поправку к этому.

Теперь аргумент Сена просто основан на наивном подсчете мощности:

в$D$размеры,$\ell$Вклад -петли в свободную энергию, определяемый типичным графиком Фейнмана (вакуум), должен масштабироваться как

куда$a$- параметр размера черной дыры, связанный с площадью горизонта$A$с помощью$A\sim a^{D-2}$а также$\ell_P$- длина Планка, связанная с постоянной Ньютона$G$с помощью$G\sim\ell_P^{D-2}$. Я храню здесь обозначения вопроса для области и Ньютона, а для остальных — Сена. Переменная интегрирования$\tilde k$связано с импульсами петель$k$с помощью$\tilde k=ka$.$\epsilon$является$a$-независимая ультрафиолетовая отсечка (порядка$\ell_P^2$в ультрафиолетовой регулируемой теории). Мультипликативная функция$F(\tilde k)$кодирует модификации (от их формы на фоне плоского пространства-времени) различных пропагаторов и вершин, несущих импульсы$k$в присутствии черной дыры. Так$F(\tilde k)$подходы$1$для больших значений$ka$, так как мы ожидаем восстановить пропагаторы и вершины на фоне плоского пространства-времени для больших импульсов.

Сначала рассмотрим случай, когда все импульсы петель одного порядка. В качестве$F(\tilde k)\rightarrow 1$, мы можем разложить функцию в степенной ряд по$1/\tilde k$для больших$\tilde k$. А$\ln(a/\sqrt{\epsilon})$член выйдет из интеграции из$\tilde k^{2\ell-2-D\ell}$вклад и после умножения на$a$-зависимый префактор это будет выглядеть

который сильно подавлен в больших$a$ограничить, если$\ell = 1$, как рекламируется.

Кроме того, возможность того, что подмножество импульсов петель меньше остальных, была проанализирована Сеном. Эффект жестких петель можно рассматривать как перенормировку вершин и пропагаторов мягкой части графа. Вместе с Сеном мы можем заключить, что до тех пор, пока перенормировка не изменяет низкоэнергетическое эффективное действие, то есть пока безмассовые частицы остаются безмассовыми и минимальная связь с гравитацией остается минимальной, эти вклады не меняют логарифмические поправки к энтропия черной дыры. Наконец, связи с более высокими производными, которые могут быть порождены эффектами перенормировки, дадут дополнительные мощности$\ell_P/a$, что делает коэффициент логарифмического члена еще более подавленным, чем то, что утверждалось ранее.

Поэтому можно сказать, что однопетлевая поправка к закону Бекенштейна-Хокинга универсальна: она зависит только от безмассового спектра и нечувствительна к УФ-пополнению теории. Иными словами, основная причина этого заключается в том, что эффекты массивной частицы можно объяснить путем ее интегрирования, что порождает члены с более высокими производными в эффективном действии, что, в свою очередь, приводит к поправкам к энтропии, которые подавляются обратные степени$a$и не может внести свой вклад.

Если вы все еще не полностью убеждены в каноническом статусе «подлинно квантовой» логарифмической поправки, позвольте мне сначала подчеркнуть центральную роль метода теплового ядра в вычислениях Сена (см. , например , §2.2, стр. 10), что очень важно. удобный инструмент для вычисления однопетлевых расходимостей и изучения квантовых аномалий ( общий вид см. у Василевича ). В этом направлении мы можем быть еще более убедительными, используя современный подход, который переделывает вычисление энтропии черной дыры в терминах энтропии запутанности. Точнее, вслед за Солодухиным Ро Джефферсон написал очень содержательный пост в блоге на эту тему.который дает с помощью трюка с репликами два вклада в термодинамическую энтропию (шварцшильдовской) черной дыры: классическую (поскольку она представляет собой древесный вклад в интеграл по траекториям) гравитационную энтропию, знаменитый закон площадей Бекенштейна-Хокинга, и энтропия запутанности, которая представляет собой однопетлевую квантовую поправку. То есть, если бы мы восстановили постоянную Планка, закон площадей пришел бы с$1/\hbar$, и часть запутанности будет в порядке$\hbar^0$.