Математическое доказательство неотрицательного изменения энтропии ΔS≥0ΔS≥0\Delta S\geq0

В контексте квантовой механики энтропия системы, начальное состояние которой задается матрицей плотности $\rho(0)$дается так называемой энтропией фон Неймана ;

Прием автора. Меня всегда несколько беспокоил аргумент, который я вам только что привел, не потому, что я считаю его неверным, а скорее потому, что в свете вывода, который мы делаем из него относительно изолированных систем, почему люди не говорят, что более сильное утверждение$dS=0$для изолированных систем, в отличие от$dS\geq 0$. Дело не в том, что это противоречивые утверждения; один просто сильнее другого, поэтому я думаю, что нужно просто утверждать, что сильнее в контексте изолированных систем.

Дополнение. В ответ на мое «признание» я должен отметить, что есть милый аргумент, который я видел в пользу неотрицательности изменения полной (фон-неймановской) энтропии изолированной системы при условии, что полная энтропия определена правильно. Вот.

Предположим, что у нас есть изолированная система, назовем ее Вселенной, описываемая гильбертовым пространством$\mathcal H$. Предположим, что эту систему можно разделить на две подсистемы$a$и$b$так что объединенное гильбертово пространство может быть записано$\mathcal H = \mathcal H_a\otimes\mathcal H_b$. Если матрица плотности Вселенной$\rho$, то матрицы плотности подсистем$a$и$b$определяются как частичные трассы над$\rho$;

Если системы$a$и$b$изначально некоррелированы, тогда полная энтропия$S(\rho_a) + S(\rho_b)$никогда не будет ниже, чем в начальный момент времени.

Доказательство. Если системы изначально некоррелированы, то по определению оператор полной плотности в начальный момент времени есть тензорное произведение$\rho(0) = \rho_a^0\otimes \rho_b^0$. Из взятия частичных следов и использования того факта, что оператор плотности является единичным следом, следует, что матрицы плотности подсистем$a$и$b$в начальный момент являются

Однако я всегда был несколько недоволен этим аргументом, потому что (i) он предполагает, что подсистемы изначально некоррелированы, и (ii) мне не ясно, что определение полной энтропии как суммы энтропий приведенной плотности операторы подсистем - это то, что мы должны называть$S$когда мы пишем$\Delta S \geq 0$.

Кстати, этот аргумент был украден из лекций, которые я брал: квантовые конспекты лекций Эрика Д'Хокера .

Вот поучительный частный случай: возьмем$n$тела с температурой$T_1,\ldots T_n$и соединить их вместе, пока они не достигнут конечной температуры$T$. Первый закон термодинамики говорит вам, что$T$это среднее арифметическое$T_i$. Второй закон термодинамики говорит вам, что изменение энтропии$n\log(T/G)$где$G$является средним геометрическим. Это стандартная теорема чистой математики, что$T>G$, откуда изменение энтропии должно быть положительным.

Я понимаю, что мы можем доказать, что для любого процесса, происходящего в изолированной и замкнутой системе, должно выполняться ΔS≥0 по теореме Клаузиуса. Мой вопрос в том, как я могу доказать это математическим способом?

Теорема Клаузиуса гласит, что когда в системе происходит общий циклический процесс, в ходе которого она соединяется с резервуаром (возможно, переменной) температуры$T_r$, интеграл

Теперь предположим, что в нашей изолированной системе происходит какой-то необратимый процесс.$A\rightarrow^{(irrev.)}B$. Такое изменение системы может произойти в результате изменения наложенных внутренних ограничений, например снятия стенки, разделяющей две перегородки сосуда, наполненного газом разного давления. Затем система термически соединяется с тепловым резервуаром и подвергается обратимому процессу.$B\rightarrow^{(rev.)}A$.

В ходе необратимого процесса$A\rightarrow B$, так как система изолирована, теплопередача отсутствует и соответствующий вклад в$C$исчезает.

В ходе обратимого процесса$B\rightarrow A$, вообще тепло может передаваться. Интеграл$C$таким образом

Изменение энтропии при переходе из состояния равновесия A в состояние равновесия B определяется как

что то же самое, что$C$только с обратным знаком. С$C\leq 0$,

КЭД.