Как полуэмпирическая массовая формула доказывает или опровергает существование «долины стабильности»?

Question

Как полуэмпирическая массовая формула доказывает или опровергает существование «долины стабильности»?

Физика
протоны
нейтроны
энергия связи
ядерная физика

В. Райан

Я наткнулся на этот отрывок в своих конспектах лекций.

Полуэмпирическая формула массы (SEMF) является лучшей оценкой атомной массы, чем стандартная формула массы, которая пренебрегает пространственным расположением нуклонов и результирующими взаимодействиями. Из СЭМП непосредственно следует, что наблюдаемая «долина устойчивости» при $Z=\frac{A}{2}$ , на самом деле является лишь хорошей оценкой устойчивости при малых $A$ , хотя мы не будем касаться деталей.

Я понимаю, что SEMF учитывает ядерные взаимодействия из-за пространственного расположения нуклонов; однако я не уверен, откуда взялась вторая часть. Как SEMF доказывает или опровергает существование «долины стабильности» на $Z=\frac{A}{2}$ ?

pppqqq

Привет, В. Райан, я предполагаю, что SEMF - это параметризация Вайцзеккера (тот, который я написал), но я не уверен, что подразумевается под «стандартной формулой масс», поэтому мой ответ может быть совершенно неверным. путь. Может быть, вы могли бы включить формулы двух параметризаций?

В. Райан

Да, я использую ту же параметризацию, что и вы. Под стандартным термином массы я имел в виду только

M (A, Z) = Z (m_{p} + m_{e}) + (A - Z) m_{n}

$M(A,Z)=Z(m_p+m_e)+(A-Z)m_n$ , так что ваш ответ полностью работает. Спасибо.

Ответы (3)

Как полуэмпирическая массовая формула доказывает или опровергает существование «долины стабильности»?

Привет, В. Райан, я предполагаю, что SEMF - это параметризация Вайцзеккера (тот, который я написал), но я не уверен, что подразумевается под «стандартной формулой масс», поэтому мой ответ может быть совершенно неверным. путь. Может быть, вы могли бы включить формулы двух параметризаций?
Да, я использую ту же параметризацию, что и вы. Под стандартным термином массы я имел в виду только $M(A,Z)=Z(m_p+m_e)+(A-Z)m_n$ , так что ваш ответ полностью работает. Спасибо.

квантиболт · Answer 1

Полуэмпирическая формула массы дается рядом поправок к стандартной формуле массы. Стандартный массовый член определяется выражением

М (Z, А) "=" Z (М_{п} + м_{Е}) + (А - Z) М_{н},

$M(Z,A)=Z(M_p+m_E)+(A-Z)M_n,$

в то время как исправления даются следующим образом:

ф_{1} (Z, А) "=" - а_{в} А

$f_1(Z,A)=-a_vA$

ф_{2} (Z, А) "=" а_{с} А^{2 / 3}

$f_2(Z,A)=a_sA^{2/3}$

ф_{3} (Z, А) "=" а_{с} \frac{Z (Z - 1)}{А^{1 / 3}} \approx а_{с} \frac{Z^{2}}{А^{1 / 3}}

$f_3(Z,A)=a_c\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}\approx a_c\frac{Z^2}{A^{1/3}}$

ф_{4} (Z, А) "=" а_{а} \frac{(Z - \frac{А}{2})^{2}}{А}

$f_4(Z,A)=a_a\frac{(Z-\frac{A}{2})^2}{A}$

ф_{5} (Z, А) "=" {\begin{cases} - ф (А) & Z даже, А - Z "=" Н даже \\ 0 & Z даже, Н нечетный, или, Z странный, Н даже \\ ф (А) & Z странный, Н странный \end{cases}

$f_5(Z,A) = \begin{cases} -f(A) & Z\text{ even, } A-Z=N \text{ even} \\ 0 & Z\text{ even, } N\text{ odd, or, } Z\text{ odd, } N\text{ even}\\ f(A) & Z\text{ odd, } N\text{ odd} \end{cases}$

Отсюда полуэмпирическая массовая формула принимает вид

М^{'} (Z, А) "=" М (Z, А) + ф_{1} (Z, А) + ф_{2} (Z, А) + ф_{3} (Z, А) + ф_{4} (Z, А) + ф_{5} (Z, А) .

$M'(Z,A)=M(Z,A)+f_1(Z,A)+f_2(Z,A)+f_3(Z,A)+f_4(Z,A)+f_5(Z,A).$

Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос. Стабильность относится к минимизации массы. То есть чем ниже масса для некоторых $(Z,A)$ пара, при чем фиксированная, тем больше дефицит массы и, следовательно, больше энергия связи. Поэтому мы постараемся минимизировать $M'(Z,A)$ для фиксированного $A$ , чтобы найти ограничение на $Z$ такой, что $M$ это минимум. Это не что иное, как взятие первой производной от $M'(Z,A)$ в отношении $Z$ пока $A$ поддерживается постоянной. Мы можем игнорировать исправления $f_1$ , и $f_2$ и $f_5$ , так как они не зависят от $Z$ , и дифференцировать остальные термины.

У нас есть,

\frac{\partial М (Z, А)}{\partial Z} "=" М_{п} + м_{е} - М_{н},

$\frac{\partial M(Z,A)}{\partial Z}=M_p+m_e-M_n,$

\frac{\partial ф_{3}}{\partial Z} "=" \frac{2 а_{с}}{А^{1 / 3}} Z,

$\frac{\partial f_3}{\partial Z}=\frac{2a_c}{A^{1/3}}Z,$

\frac{\partial ф_{4}}{\partial Z} "=" \frac{2 а_{а}}{А} Z - а_{а},

$\frac{\partial f_4}{\partial Z}=\frac{2a_a}{A}Z-a_a,$

Так что минимум дается,

Z "=" \frac{а_{а} + М_{н} - М_{п} - м_{е}}{\frac{2 а_{с}}{А^{1 / 3}} + \frac{2 а_{а}}{А}} .

$Z=\frac{a_a+M_n-M_p-m_e}{\frac{2a_c}{A^{1/3}}+\frac{2a_a}{A}}.$

Подставив постоянные члены, получим,

Z "=" \frac{93,92}{2 (\frac{0,697}{А^{1 / 3}} + \frac{93,14}{А})},

$Z=\frac{93.92}{2(\frac{0.697}{A^{1/3}}+\frac{93.14}{A})},$

где все в МэВ.

Теперь мы можем построить график этой функции по сравнению со стандартным $Z=\frac{A}{2},$ чтобы получить следующий сюжет.

Как видно, красная линия, $Z=\frac{A}{2}$ отклоняется от истинного $Z$ который минимизирует массу для фиксированного $A$ , и ошибка увеличивается с увеличением и увеличением $A$ . Например ошибка в $A=20$ около $4.5$ %, тогда как ошибка намного больше, $\tilde{}25$ % для $A=208$ .

Я также сделал график абсолютной ошибки $\frac{Z}{2}-\text{SEMF-}Z$ в $Z$ против $A$ на тех же осях, если вам интересно.

pppqqq · Answer 2

Если я правильно понял вашу цитату, это означает, что полуэмпирическая формула массы предсказывает отклонение от $Z=\frac{A}{2}$ для тяжелых ядер (больше нейтронов). Фактически, из стандартной параметризации (см. [1]):

м (А, Z) "=" Z м_{п} + (А - Z) м_{н} - а_{В} А + а_{С} А^{\frac{2}{3}} + + а_{С} Z^{2} А^{- \frac{1}{3}} + а_{А} \frac{(Z - \frac{А}{2})^{2}}{А} - \frac{(- 1)^{Z} + (- 1)^{Н}}{2} а_{п} А^{- \frac{1}{2}}

$m(A,Z)=Zm_p + (A-Z)m_n -a_V A +a_S A^{\frac{2}{3}}+\\+a_C Z^2 A^{-\frac{1}{3}} +a_A \frac{(Z-\frac{A}{2})^2}{A}-\frac{(-1)^Z+(-1)^N}{2}a_P A^{-\frac{1}{2}}$ следует, что наиболее устойчивая конфигурация, которая получается (без учета члена спаривания) для

{(\frac{\partial м}{\partial Z})}_{А} "=" 0,

$\left(\frac{\partial m}{\partial Z}\right) _A=0,$ соответствует:

Z "=" \frac{А}{2} \frac{м_{н} - м_{п} + а_{А}}{а_{С} А^{\frac{2}{3}} + а_{А}} .

$Z=\frac{A}{2}\frac{m_n-m_p +a_A}{a_CA^{\frac{2}{3}}+a_A}.$ Формула показывает, как подсказывает интуиция, что для

A ≫ 1

$A\gg 1$ (и поэтому

Z ≫ 1

$Z\gg 1$ ), кулоновский член становится все более и более важным, так что для удержания ядра вместе требуется больше нейтронов. Более того, исх. [1] дает:

а_{А} "=" 92,86 МэВ, а_{С} "=" 0,71 МэВ,

$a_A = 92.86\, \text {MeV},\\a_C=0.71\, \text{MeV},$ так что при достаточно малом (но не слишком маленьком!)

A

$A$ , с

m_{n} - m_{p} \approx 1.5 MeV

$m_n-m_p \approx 1.5 \text{MeV}$ , SEMF фактически предсказывает

Z = \frac{A}{2}

$Z=\frac{A}{2}$ .

[1] Bertulani CA, «Ядерная физика в двух словах», стр. 121.

ФизикЗа границей · Answer 3

Вспомните форму SEMF: член асимметрии имеет член с $A-2Z$ . Эффект от этого термина $0$ когда $Z=\frac{A}{2}$ , тем самым способствуя долине стабильности - глядя на форму остальной части полуэмпирической формулы массы, вы сможете сделать вывод, как она способствует.

Как полуэмпирическая массовая формула доказывает или опровергает существование «долины стабильности»?

В. Райан

pppqqq

В. Райан

Ответы (3)

квантиболт

pppqqq

ФизикЗа границей

Почему ядра должны содержать и протоны, и нейтроны? [дубликат]

Ядерная сила и энергия связи

Ограничение количества нейтронов в ядре [дубликат]

Основные вопросы о сильном взаимодействии

Является ли ядро набором кварков или набором нейтронов и протонов? [дубликат]

Порядок заполнения в оболочечной модели ядра

Альфа-частица состоит из четырех нуклонов или додекаварка?

Что такое энергия связи?

Что происходит с массой при бета-распаде?

Какие свойства отдельных нуклонов изменяются в зависимости от ядерного окружения?