Как принцип запрета Паули создает силу в вырожденной материи?

Как на самом деле принцип запрета Паули создает силу?

Принцип запрета Паули на самом деле не говорит, что два фермиона не могут находиться в одном и том же месте. Это и сильнее, и слабее, чем это. В нем говорится, что они не могут находиться в одном и том же состоянии, т. е. если это стоячие волны, две из них не могут иметь одинаковую форму стоячих волн. Но для объемного вещества, для наших целей, становится подходящим приближением трактовать принцип исключения как утверждение, что если$n$частицы находятся в объеме$V$, каждый из них должен быть ограничен пространством около$V/n$. Поскольку объем равен кубу длины, это означает, что их длины волн должны быть$\lesssim (V/n)^{1/3}$. В качестве$V$уменьшается, эта максимальная длина волны также уменьшается, и соотношение де Бройля говорит нам, что импульс увеличивается. Увеличенный импульс проявляется как давление, как если бы вы увеличили импульсы всех молекул в образце воздуха. Вырожденное тело вроде нейтронной звезды или белого карлика находится в состоянии, когда это давление находится в равновесии с гравитацией.

Мне нравится ответ Бена, но вот мой взгляд на это.

Давление вырождения не связано с фундаментальной силой; на самом деле в простейшей модели это происходит в идеальных газах невзаимодействующих фермионов.

Простая квантовая механика частиц в бесконечной потенциальной яме (т.е. в ловушке в объеме) говорит нам, что возможны только определенные квантованные волновые функции. Каждая из этих волновых функций имеет связанный с ней импульс. Следовательно, существует конечное число квантовых состояний на единицу объема, на единицу импульса (иногда называемого «фазовым пространством»). Принцип запрета Паули (PEP) говорит нам, что только два фермиона (один для вращения вверх, один для вращения вниз) могут занимать каждое из этих «собственных состояний импульса».

Что происходит с «нормальным» (не квантовым) газом, когда мы сжимаем его до небольшого объема? Итак, кинетическая теория говорит нам, что давление увеличивается, потому что увеличивается плотность частиц и увеличивается температура, что проявляется в увеличении скорости и импульса частиц. Эти более быстрые частицы обмениваются большим количеством импульса со стенками нашего контейнера, следовательно, оказывают большее давление. Но в нашем «обычном» газе мы могли бы поставить его в холодильник и уменьшить давление. Это связано с тем, что кинетическая энергия частиц в обычном газе может быть извлечена из них, и они могут без ограничений падать, занимая состояния с более низкой энергией / импульсом.

Теперь обратимся к газу фермионов. Точно так же создается давление в фермионном газе. Картина кинетической теории верна. Но теперь, если мы охладим газ, сначала поведение может быть очень похожим, но по мере заполнения всех квантовых состояний с низкой энергией/импульсом мы обнаружим, что PEP не позволяет нам извлекать больше тепла из частиц. Они переходят в квантовые состояния, которые могут иметь значительный импульс и кинетическую энергию, потому что это настолько низко, насколько они могут опускаться. Таким образом, даже если бы мы охладили наш фермионный газ почти до абсолютного нуля, мы все равно нашли бы фермионы с ненулевым импульсом, и газ оказал бы (вырожденное) давление.

Простой способ взглянуть на это как на трехмерную версию принципа неопределенности.

$$(\Delta x \Delta p_x) (\Delta y \Delta p_y) (\Delta z \Delta p_z) = \Delta V (\Delta p)^3 \sim \hbar^3$$ Это соотношение говорит вам, что частицы могут быть плотно упакованы, но если это так, то они должны иметь очень разные импульсы. Именно этот большой диапазон импульсов приводит к давлению вырождения.

Крайний случай известен как полное вырождение и является хорошим приближением для идеальных фермионных газов либо при очень низкой температуре, либо при очень высокой плотности. В этом случае все импульсные состояния полностью заполнены вплоть до того, что называется энергией Ферми, а более высокие энергетические состояния вообще не заняты. Этот газ оказывает давление вырождения, которое не зависит от температуры .

Остальное — математика расчета: (i) плотности квантовых состояний; (ii) когда вырождение становится важным; (iii) какое давление оказывает вырожденный газ, используя кинетическую теорию. Оказывается, белые карлики почти полностью поддерживаются давлением вырождения электронов при плотностях$10^{9}-10^{11}$кг/м$^{3}$и приближение полного вырождения очень хорошее, даже если их внутренние температуры могут достигать$10^{7}$К. На верхнем конце этого диапазона электроны в Белом карлике релятивистские. (См. этот апплет Geogebra , который я создал, чтобы увидеть, как занятость квантовых состояний меняется в зависимости от плотности и температуры в белом карлике). Поскольку нейтроны намного массивнее электронов, они не становятся вырожденными до гораздо более высоких плотностей (что, как показывает математика, примерно равно кубу массы фермиона). Нейтронные звезды частично поддерживаются давлением вырождения нейтронов при плотностях$10^{17}-10^{18}$кг/м$^{3}$.

Сила, которую мы связываем с принципом запрета Паули, не является фундаментальной силой, связанной с четырьмя фундаментальными взаимодействиями, а скорее энтропийной силой , следствием ограничений, которые принцип накладывает на разрешенные волновые функции.

Более общая формулировка принципа гласит, что полная волновая функция системы двух (или более) идентичных фермионов антисимметрична при обмене двумя частицами. Итак, если два атома, несущие электроны с одинаковым спином, сближаются, пространственная часть волновой функции должна быть антисимметричной. Как известно, распределение вероятностей положения электрона есть квадрат амплитуды волновой функции и, таким образом, для электрона с антисимметричной волновой функцией будет избегать пространства между атомами. Это явление связано с обменным взаимодействием

Из-за этого фазовое пространство электронов в твердом теле с высокой плотностью будет ограничено, ограничение, которое мы воспринимаем в макроскопическом масштабе как «силу».