Как рассчитать замедление времени при приближении к скорости света

где t_0 — время, которое потребовалось бы, если бы он путешествовал со скоростью c

Это твоя проблема.

$t_0$пилотом и$t$время, которое занимает поездка с точки зрения наблюдателя, движущегося относительно пилота со скоростью$v$. С точки зрения наблюдателей, оставшихся дома, поездка занимает$t = d/v$, но пилот чувствует правильное время$t_0 = t/\gamma < t$.

К сожалению, это приводит к небольшой проблеме, потому что не существует однозначного определения «в состоянии покоя». Введите «парадокс близнецов», который обсуждался на сайте ранее.

Просто чтобы немного расширить ответ dmckee...

Собственное время является ключевым понятием в СТО. Практически в любой ситуации в SR вам нужна система координат, включающая пространственные координаты и координаты времени.$t$. Ключевое слово здесь — координата . В СТО время — это координата , которую следует отличать от параметра .

В ньютоновской механике$t$параметр ; _ параметр траекторий в пространстве . В СТО траектории становятся мировыми линиями; траектории в пространстве-времени . Но мировым линиям тоже нужен параметр, и в СТО этим параметром является собственное время.$\tau$.

Собственное время — это время, прошедшее вдоль мировой линии; это, грубо говоря, прошедшее время, которое показывают часы на мировой линии (или наручные часы пилота космического корабля).

Существует связь между собственным временем вдоль мировой линии и координатным временем:

$\gamma \Delta\tau = \Delta t$

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (\dfrac{v^2}{c^2})}}$

Где$v$- равномерная скорость объекта в системе координат с координатным временем$t$.

Теперь обратите внимание, что прошедшее координатное время,$\Delta t$, это прошедшее собственное время$\Delta \tau$ наблюдателя, покоящегося в этой системе координат . Прочитайте это еще раз, чтобы убедиться, что это имеет смысл для вас.

И последнее: собственное время вдоль мировой линии инвариантно; она одинакова во всех инерциальных системах координат.

Просто чтобы немного расширить ответ Альфреда...

Когда вы пытаетесь понять систему в специальной теории относительности, опасно разбрасываться гамма-факторами и надеяться, что вы получите правильный ответ. Вам нужно сесть и сделать расчет. Это звучит немного жестоко, но расчет зачастую проще, чем вы думаете. Давайте сделаем это для этого случая.

Чтобы конкретизировать ситуацию, давайте предположим, что звездолет проходит мимо нас в нулевое время, и мы с капитаном космического корабля синхронизируем наши часы, так что нулевое время наступает, когда мы проходим. Предположим также, что звездолет летит к какой-то звезде, находящейся на расстоянии$d$подальше от нас.

В нашей системе отсчета мы можем выделить две точки пространства-времени. Смысл$(0, 0)$это когда звездолет проходит мимо нас, и точка$(d/v, d)$когда звездолет достигает звезды. Краткое объяснение этого второго пункта: мы пишем точки как$(t, x)$. Когда звездолет у звезды$x = d$, а время, необходимое для достижения звезды, равно расстоянию/скорости или$d/v$, поэтому точка, в которой звездолет достигает звезды,$(d/v, d)$.

Теперь давайте рассмотрим каркас звездолета. В этой системе координат звездолет неподвижен, и по соглашению с нами на Земле точка прохождения звездолета над Землей равна (0, 0). Нам нужно выяснить, в какой момент$(t', d')$звездолет видит звездный проход. Значение$d'$легко, потому что в кадре звездолета он не движется, поэтому$d' = 0$. Остается только заниматься$t'$.

Существуют различные способы расчета$t'$, но мне больше всего нравится использовать тот факт, что собственное время является инвариантом специальной теории относительности. Альфред упомянул правильное время в своем ответе, и оно указано:

$$d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

Ключевым моментом в отношении собственного времени является то, что оно инвариантно, что означает, что каждый наблюдатель в каждой инерциальной системе отсчета будет измерять одно и то же значение$d\tau$. Мы можем использовать это для расчета$t'$. В нашем случае это упрощено, потому что мы рассматриваем только движение в$x$направление так$dy$и$dz$оба равны нулю.

Итак, в нашей системе вычисляем$\tau$быть:

$$\tau^2 = c^2 \frac{d^2}{v^2} - d^2$$

В кадре звездолета$d'$равен нулю, поэтому собственное время просто:

$$\tau'^2 = c^2t'^2$$

Оба наблюдателя должны договориться о правильном времени, чтобы$\tau = \tau'$, и установка их равными дает нам:

$$c^2t'^2 = c^2 \frac{d^2}{v^2} - d^2$$

и быстрое упрощение дает:

$$t' = \sqrt{\frac{d^2}{v^2} - \frac{d^2}{c^2}}$$

Было бы неплохо иметь$t'$с точки зрения$t$скорее, чем$d$, и мы можем сделать это, просто заметив, что$d = vt$, что дает (после быстрой перестановки):

$$t' = t\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Таким образом, время, которое капитан звездолета измеряет, чтобы достичь звезды, короче, чем мы измеряем, как вы и ожидали. Расчет теперь показывает, что ваше уравнение было неправильным, так как вы получили коэффициент$\sqrt{1 - v^2/c^2}$в неправильном месте.

Между прочим, мы также можем определить, какое расстояние измеряет капитан звездолета до звезды. Мы с капитаном согласны в нашей относительной скорости,$v$, поэтому капитан может рассчитать расстояние до звезды, используя$d' = vt'$и получает:

$$d' = vt\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

и конечно$vt$просто$d$так:

$$d' = d\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Таким образом, капитан звездолета измеряет расстояние до звезды, уменьшенное на коэффициент$\sqrt{1 - v^2/c^2}$так же, как время.