Как точно определяются симметрии?

Что такое физическая теория/модель?

Данная физическая теория обычно математически моделируется некоторым набором$\mathscr O$математических объектов и некоторые правила, которые говорят нам, как эти объекты соответствуют физической системе, и позволяют нам предсказать, что произойдет с этой системой.

Например, многие системы классической механики можно описать парой$(\mathcal C, L)$куда$\mathcal C$- конфигурационное пространство системы (часто многообразие), и$L$является функцией путей в этом конфигурационном пространстве. Затем эта модель сопровождается такими правилами, как «элементы$\mathcal C$соответствуют возможным положениям системы» и «при заданной начальной конфигурации системы и ее начальной скорости уравнения Эйлера-Лагранжа для$L$определить конфигурацию и скорость системы на более поздние времена».

Что такое симметрия?

Если мы представим себе физику как набор таких моделей, мы можем определить симметрию системы как преобразование на множестве$\mathscr O$объектов в модели таких, что преобразованное множество$\mathscr O'$объектов дает ту же физику . Обратите внимание: я намеренно использую здесь несколько расплывчатую фразу «выдает ту же физику», потому что значение этой фразы зависит от контекста. Короче говоря:

Симметрия — это преобразование модели, которое не меняет предсказываемую ею физику.

Например, для модели$(\mathcal C, L)$выше, одной симметрией было бы преобразование, отображающее лагранжиан$L$к новому лагранжиану$L'$на том же конфигурационном пространстве такое, что множество решений уравнений Эйлера-Лагранжа для$L$равно множеству решений уравнений Эйлера-Лагранжа для$L'$. Даже в этом случае интересно отметить, что$L$для этого не обязательно быть инвариантным относительно преобразования. В самом деле, можно показать, что этого достаточно для$L'$отличаться от$L$полной производной по времени. Это поднимает важный момент;

Симметрия не обязательно должна быть инвариантностью данного математического объекта. Существуют симметрии физических систем, которые изменяют математические объекты, описывающие систему, но тем не менее оставляют физику неизменной.

Другой пример, чтобы подчеркнуть этот момент, состоит в том, что в классической электродинамике можно описать модель в терминах потенциалов.$\Phi, \mathbf A$а не с точки зрения полей$\mathbf E$а также$\mathbf B$. В этом случае любое калибровочное преобразование потенциалов приведет к той же физике, поскольку не изменит поля. Итак, если бы мы моделировали систему с помощью потенциалов, то мы увидели бы, что существуют преобразования объектов в модели, которые изменяют их, но тем не менее приводят к той же самой физике.

Как группы относятся ко всему этому?

Часто преобразования рассматриваемой модели формируют действия групп. Групповое действие — это своего рода математический объект, который связывает преобразование на заданном множестве с каждым элементом группы таким образом, что структура группы сохраняется.

Возьмем, к примеру, систему$(\mathcal C, L)$сверху. Предположим, что$\mathcal C$- конфигурационное пространство частицы, движущейся в потенциале центральной силы, и$L$является подходящим лагранжианом. Можно определить действие$\phi$группы$G= \mathrm{SO}(3)$множества вращений$R$одно пространство допустимых путей$\mathbf x(t)$в конфигурационном пространстве следующим образом:

Часто объекты, описывающие данную модель, включают векторное пространство. Например, пространство состояний квантовой системы — это особый вид векторного пространства, называемого гильбертовым пространством. В таких случаях часто полезно рассмотреть определенный вид группового действия, называемый групповым представлением . Это приводит к изучению огромного и прекрасного предмета, называемого теорией представлений групп.

Являются ли группы концом истории?

Точно нет. Симметрии могут быть созданы другими видами математических объектов. Типичным примером являются симметрии, порожденные представлениями определенного вида математического объекта, называемого алгеброй Ли. В этом случае, как и в случае с группами, можно изучать теорию представлений алгебр Ли, которая сама по себе также является огромной и богатой областью математики.

Даже это не конец истории. Существуют всевозможные модели, которые допускают симметрии, порожденные более экзотическими видами объектов, например, в контексте суперсимметрии, когда рассматриваются объекты, называемые градуированными алгебрами Ли.

Большая часть математики этого материала, как правило, подпадает под название теории представлений .

Симметрия присутствует, когда что-то$x$не меняется при некоторых преобразованиях$T$:

В бесконечном цилиндре существует радиальная симметрия, потому что если вы двигаетесь с постоянной высотой и радиусом, вы видите одну и ту же фигуру.

В лагранжевом случае, если вы измените координаты, лагранжиан не изменится.$L(x') =L(x)$

В теории групп элементы группы представляют собой некие преобразования. Это будет иметь некоторую связанную симметрию.

Например:

• $GL(n,\mathbb{R})$(группа всех действительных матриц) сохраняет точки, чтобы быть в$\mathbb{R}$.

• $SL(n,\mathbb{R})$(группа всех действительных матриц с$\det=1$) сохраняет объемы. Напомним, что мы можем определить объем как определитель векторов.

• $O(n)$(группа вращения) сохраняет расстояния (скалярное произведение с евклидовой метрикой).

• И многое другое...

И обратите внимание, что существует множество симметрий, совсем не связанных с физикой, например, 2125922464947725402112000 симметрий кубика Рубика, который описывается группой кубика Рубика .

Погружаясь в физику, вы узнаете много других симметрий: диффеоморфизмы, фиксацию калибровки, CPT в КТП, теорему Нётер...

Симметрии действительно имеют широкое и сильное влияние на физику, и в этом ответе я смогу только коснуться поверхности предмета, но я постараюсь дать вам представление о предмете.

В самых простых рамках вы упоминаете электростатическую проблему. В такой задаче ключевым фактором являются геометрические симметрии, применимые к заряженным частицам. Например, если заряженный объем симметричен относительно плоскости$z=0$, то вся физическая система допускает эту симметрию. Как следствие, электрическое поле соблюдает ту же симметрию. Итак, для точки$r$расположенный на этой плоскости,$E(r)$должен быть равен его симметричности по отношению к такому плану, что налагает$z$компонент равен 0.

Итак, здесь мы видим пример, в котором говорят, что геометрическое свойство, которое соблюдается причинами, должно соблюдаться следствиями, и дает нам ключ к свойствам таких следствий.

Более общая формулировка действительно является формулировкой Зюскинда, но вы должны рассматривать «лагранжиан» в его устах как означающий «фундаментальное уравнение, которому подчиняется система». Так что на самом деле он имеет в виду, что если симметрия оставляет уравнения, управляющие системой, неизменными, то говорят, что такая физическая система соблюдает такую ​​симметрию. И обычно из одного этого факта можно сделать очень глубокие выводы (подумайте, например, о центральных силах).

Второе определение выше действительно то же самое, что и предыдущий простой случай: все, что я написал о зарядах и электрическом поле, содержится в определении Сасскинда, если заменить «координаты» на «пространственные координаты» и «лагранжиан» на «уравнения Максвелла». , которые являются лишь более простой формулировкой лагранжиана в конкретном контексте.

Так что на самом деле то, что вы слышите в базовых курсах физики, является правильным определением, но на самом деле оно выражено несколько небрежно и применяется в ограниченном контексте.

Теория групп тесно связана с системными симметриями, потому что все операции симметрии, которые оставляют физическую систему неизменной, образуют группу: вы можете сами убедиться, что композиция двух таких симметрий оставляет уравнения системы неизменными, что тождественное преобразование оставляет уравнения системы без изменений, и что для каждого преобразования, которое оставляет уравнения системы неизменными, его обратное также оставляет их неизменными. Итак, вы, естественно, имеете дело с групповой алгеброй. Он играет решающую роль, например, в конденсированных средах, потому что симметрии кристалла определяют симметрии потенциала, в котором движутся электроны, и, таким образом, симметрии, которые оставляют гамильтониан неизменным (эквивалентно разговору о лагранжиане или об уравнениях движение в более простой обстановке).

Я хотел бы упомянуть о трансляционной симметрии, которая настолько проста, что о ней иногда забывают, но трансляционная симметрия для всех пространственных векторов (другими словами, однородность пространства) позволяет показать, что импульс сохраняется, т.е. что частица движется с постоянной скоростью если масса постоянна. Более ограниченная трансляционная симметрия обнаруживается в кристаллах, где трансляционная симметрия имеет место только для векторов основной решетки, что приводит к не менее убедительным выводам с теоремой Блоха и ее фундаментальными приложениями в теориях переноса и многих других областях физики конденсированного состояния.

Наконец, я хотел бы подчеркнуть, что когда Сасскинд говорит «координаты», он имеет в виду не только «пространственные координаты». Еще одна важная симметрия — временная симметрия. В более общем смысле любая координата в смысле любой обобщенной координаты, в зависимости от которой может быть записан лагранжиан или гамильтониан, может быть объектом операций симметрии.

В заключение я бы рекомендовал прочитать первый том курса теоретической физики Ландау и Лифшица. Вы найдете прекрасные идеи, основанные на симметрии, в главах с I.1 по I.9.