Группа симметрий уравнений Лагранжа

Здесь гамильтоновы системы на кокасательных расслоениях$(T^{*}M, \omega_M, H)$многообразия$M$будет рассмотрено.

Симметрия гамильтоновой системы — это диффеоморфизм, сохраняющий 1) структуру кокасательного расслоения, 2) каноническую симплектическую форму$\omega_M$3) гамильтониан$H$.

Точечная (или нетеровская) симметрия лагранжиана требуется в дополнение к тому, чтобы он порождался векторным полем на$M$чей канонический подъем к$T^{*}M$порождает гамильтонову симметрию.

Группа симплектоморфизма требуется только для сохранения симплектической формы и не связана с конкретным гамильтонианом, поэтому это группа большого множества и, вообще говоря, бесконечномерная.

0) Предположим для простоты, что преобразование Лежандра от лагранжевой к гамильтоновой формулировке является регулярным.

1) Лагранжево действие$S_L[q]:=\int dt~L$инвариантен относительно бесконечномерной группы диффеоморфизмов$n$-мерное (обобщенное) позиционное пространство$M$.

2) Гамильтоново действие$S_H[q,p]:=\int dt(p_i \dot{q}^i -H)$инвариантен (с точностью до граничных членов) относительно бесконечномерной группы симплектоморфизмов$2n$-мерное фазовое пространство$T^*M$.

3) Группа диффеоморфизмов пространства положений может быть продолжена на подгруппу внутри группы симплектоморфизмов. (Но группа симплектоморфизмов намного больше.) Вышеизложенное выражено в активной картинке. Мы также можем перефразировать его в пассивной картине преобразований координат. Тогда мы можем продолжить преобразование координат

$$q^i ~\longrightarrow~ q^{\prime j}~=~q^{\prime j}(q)$$

в кокасательное расслоение$T^*M$в стандартной моде

$$p_i ~=~ p^{\prime}_j \frac{\partial q^{\prime j} }{\partial q^i} ~.$$

Нетрудно проверить, что симплектическая двойная форма становится инвариантной

$$dp^{\prime}_j \wedge dq^{\prime j}~=~ dp_i \wedge dq^i$$

(что соответствует симплектоморфизму в активной картинке).