Как найти группу симметрии лагранжиана?

Заранее извиняюсь за мой базовый английский, но я хотел бы знать, есть ли правило, книга или вообще какой-то способ для определения внутренних симметрий, калибровочных симметрий или всех симметрий лагранжевой плотности. Я знаю, что существует теорема Нётер, которая даст мне сохраняющийся ток из данной симметрии, но моя проблема априорна: как я могу найти наибольшую внутреннюю симметрию данного лагранжиана? Поскольку я хочу быть более ясным, я могу привести вам несколько примеров. Предположим, у меня есть два реальных поля ф 1 и ф 2 так что лагранжиан

л ( ф 1 , ф 2 ) "=" 1 2 ∂ мю ф 1 ∂ мю ф 1 + 1 2 ∂ мю ф 2 ∂ мю ф 2 − 3 4 М 2 ( ф 1 2 + ф 2 2 ) − 1 2 М 2 ф 1 ф 2

Если я спрошу вас, какова группа симметрии этого лагранжиана, что вы мне ответите?

В то же время я могу диагонализовать массовую матрицу и определить новые поля

ф М 2 "=" ф 2 − ф 1 2 ф 2 М 2 "=" ф 1 + ф 2 2

где, если я правильно провел вычисления, я получу лагранжеву плотность как

л 2 ( ф М 2 , ф 2 М 2 ) "=" 1 2 ∂ мю ф М 2 ∂ мю ф М 2 + 1 2 ∂ мю ф 2 М 2 ∂ мю ф 2 М 2 − 1 2 [ ( 2 М 2 ) ф 2 М 2 2 + М 2 ф 2 М 2 2 ) ]

который является лагранжианом двух полей Клейна-Гордона. Это определение представляет собой ротацию 45 ° полей, означает ли это, что лагранжиан инвариантен относительно SO(2)? Если массы полей одинаковы, второй лагранжиан можно рассматривать как плотность лагранжиана Клейна-Гордона дублета

Φ "=" ( ф 1 ф 2 ) ?

Является ли тогда это последнее примером лагранжевого инварианта относительно SO(2)?

Последнее: если у меня есть общий лагранжиан:

л 3 ( ф 1 , … , ф н ) "=" ∑ я , Дж "=" 1 н ( 1 2 К я Дж ∂ мю ф я ∂ мю ф Дж − М я Дж ф я ф Дж ) − В ( ф я )

где К я Дж и М я Дж – вещественные симметричные постоянные матрицы; К я Дж — невырожденная положительно определенная матрица. Какова наибольшая внутренняя симметрия кинетического члена? Какова форма М я Дж такой, что массовый член инвариантен относительно этой группы г ?

Я надеюсь, что три примера помогут вам понять, что я имею в виду и что я хотел бы получить в ответ. Если есть ссылка, учебник или что-то, что может помочь мне понять, как справляться с такого рода вопросами, я очень ценю их.

Ответы (1)

Итак, у вас действительно есть два тесно связанных вопроса. Начнем с вашего более легкого. Вы написали лагранжиан

л ( ф 1 , ф 2 ) "=" 1 2 ∂ мю ф 1 ∂ мю ф 1 + 1 2 ∂ мю ф 2 ∂ мю ф 2 − 3 4 М 2 ( ф 1 2 + ф 2 2 ) − 1 2 М 2 ф 1 ф 2

И попросил группу симметрии. Я вижу, что первые три члена имеют С О ( 2 ) симметрия, но эта симметрия нарушается ф 1 ф 2 перекрестный срок. Вы сделали замену переменных,

ф М 2 "=" ф 2 − ф 1 2 , ф 2 М 2 "=" ф 1 + ф 2 2 ,

что делает этот факт более очевидным. Лагранжиан становится

л 2 ( ф М 2 , ф 2 М 2 ) "=" 1 2 ∂ мю ф М 2 ∂ мю ф М 2 + 1 2 ∂ мю ф 2 М 2 ∂ мю ф 2 М 2 − 1 2 [ ( 2 М 2 ) ф 2 М 2 2 + М 2 ф 2 М 2 2 ) ]

и вы правы, что если бы диагональные поля имели равные массы, то было бы С О ( 2 ) симметрия. Если вы вернетесь к замене переменных в обратном порядке, то обнаружите, что диагональные поля имеют равные массы тогда и только тогда, когда ф 1 ф 2 термин исчез в первую очередь.

Теперь давайте посмотрим на ваш более общий лагранжиан:

л 3 ( ф 1 , … , ф н ) "=" ∑ я , Дж "=" 1 н ( 1 2 К я Дж ∂ мю ф я ∂ мю ф Дж − М я Дж ф я ф Дж ) − В ( ф я )

С К я Дж вещественна и симметрична, ее можно диагонализовать ортогональной матрицей. Наконец, изменив масштаб полей, вы можете установить К я Дж "=" дельта я Дж дать себе стандартный кинетический термин. Этот термин сам по себе С О ( н ) инвариант.

Вопрос, который остается после переопределения этого поля, что делает М я Дж выглядит как? Поскольку кинетический член теперь С О ( н ) инвариант и М я Дж симметричен, мы также можем диагонализовать М я Дж . Однако мы больше не можем делать масштабирование, поэтому новый лагранжиан, записанный в терминах собственных полей масс, в общем случае будет иметь поля с другими массами. Если все массы разные, то все С О ( н ) нарушена симметрия. Если какие-либо массы одинаковы, то их кратности могут оставить вам невязку С О ( к ) × С О ( ℓ ) × … , и т. д.

Отредактировано, чтобы добавить: вам также нужно посмотреть на симметрию вашего потенциала В ( ф ) , что может еще больше нарушить симметрию!

Я думаю, вы правильно ответили на мои примеры, но теперь у меня есть еще одно любопытство: если кто-то дает вам лагранжиан (например, плотность лагранжиана Стандартной модели), есть ли способ увидеть и перечислить все внутренние симметрии, просто глядя на это? Я имею в виду, что лагранжиан — это просто пробы и ошибки для всех возможных симметрий, которые вы придумываете, и тогда опыт даст вам правильный ответ, или есть систематический способ перечислить их все?
Если кто-то дает вам лагранжиан, который еще не был организован таким образом, чтобы сделать симметрии очевидными, тогда это может быть довольно сложно, и систематического способа не существует. Подумайте, насколько неочевидной была бы простая калибровочная симметрия, если бы она была записана! (Для большего удовольствия запишите это в нестандартном базисе алгебры Ли, у вас будет настоящая головная боль, собирая его обратно).
Кроме того, рассмотрим что-то вроде проблемы Кеплера. Он имеет «скрытую» симметрию, вектор Лапласа-Рунге-Ленца, который определенно не очевиден, глядя на него.
Как найти группу симметрии лагранжиана?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v