Как узнать, являются ли сферические координаты локально плоскими в начале координат?

Чтобы найти точки, в которых нарушается локальная плоскостность, общая стратегия состоит в том, чтобы вычислить тензор кривизны$R_{\mu\nu\rho\sigma}$, и найти геометрическое место различных особенностей (точки, где$R_{\mu\nu\rho\sigma}$становится неограниченным). За исключением редких случаев (например, необычная отмена), особое поведение$R_{\mu\nu\rho\sigma}$проявляется в скаляре Риччи$R=R^{\rho\alpha}_{\,\,\,\,\rho\alpha}$.

Альтернативный взгляд на локальную плоскостность предполагает понимание поведения геодезических вблизи точки интереса. В высокосимметричных случаях нулевые геодезические могут предоставить способ исследования точек, в которых метрические компоненты кажутся сингулярными. Если пространство-время действительно регулярно вблизи точки, аффинные параметры этих геодезических дают локальные координаты, относительно которых компоненты метрики неособы. Следовательно, сингулярность кривизны также можно рассматривать как место, где нулевые геодезические ведут себя хаотично, независимо от того, насколько близко вы увеличиваете масштаб области хаотичного поведения: область вблизи сингулярности выглядит искривленной в любом масштабе.

Имея это в виду: когда вас интересует в основном регион рядом с$r=0$, полезно рассмотреть, как изменяется метрика при применении преобразования координат$(t',r')=(\alpha t,\alpha r)$с$\alpha \gg 1$. Метрика относительно новых координат равна$\alpha^{-2}(-g_{tt}(\alpha^{-1}x)dt'^2+g_{rr}(\alpha^{-1}x)dr'^2+r'^2d^2\Omega)$, а необходимым условием локальной плоскостности является то, что ремасштабированная метрика приближается к чему-то, пропорциональному обычной метрике Минковского,$-dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2$. Следовательно, принятый вами вид угловой составляющей метрики сильно ограничивает форму$g_{tt}$и$g_{rr}$: в частности, для того, чтобы многообразие было локально плоским вблизи начала координат, необходимо, чтобы$g_{tt}(0)=-g_{rr}(0)=1$(это условие исключает ваш пример, имеющий конусообразную особенность). Вы также можете заметить необычное поведение в вашем примере из формы нулевых геодезических: любая функция$(t(\tau),0,\dots)$является нулевой геодезической, но таковы и функции вида$r(t)=\frac{1}{12}t^2+C$которые проходят через начало.