Как возможно квантовое туннелирование?

Мгновенно вычисленное значение кинетической энергии будет отрицательным, как вы предлагаете. Однако причина квантового туннелирования связана с соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Вы можете найти частицу в классически запрещенной области, но гораздо меньше шансов найти ее здесь. Продолжительность любого отклонения от этого условия сохранения энергии ограничена уходом энергии, так что

$$\begin{equation} \Delta E \Delta t \ge \hbar/2. \end{equation}$$ Чем больше кажущееся энергетическое нарушение, тем более мимолетно событие. Принцип неопределенности, по сути, позволяет системе на мгновение иметь достаточно энергии для того, чтобы частица оказалась в запрещенной области, с той оговоркой, что она может не находиться там очень долго. (Эта странность также отвечает за эффект Казимира.)

В квантовой механике вы должны быть осторожны с тем, что вы подразумеваете под «энергией». В КМ энергия вычисляется с помощью оператора Гамильтона$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(x)$. Наивно вы ожидаете, что сможете просто применить его к волновым функциям.$\hat H\psi(x)$и везде, где это дает вам большее число, энергия высока. Но единственный способ вычислить энергию, который имеет смысл, — это вычислить среднее значение гамильтониана$\langle \hat H\rangle=\int \text{d}x\ \psi^*(x)\hat H\psi(x)$. Для этого ожидаемого значения вы не можете просто смотреть на энергию в точке, вы должны рассматривать все пространство.

То, что вы пытаетесь рассчитать, - это энергия в определенной точке.$x$. Это имеет смысл только тогда, когда вы говорите о собственных состояниях энергии. Или состояния$\psi(x)$которые удовлетворяют

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x)$$ Это означает, что вы можете говорить об «энергии» без путаницы: энергия дается$E$а также$\langle\hat H\rangle$=Э. Если вы посмотрите на это последнее уравнение, вы увидите, что есть две области:$E>U(x)$, классически разрешенная область, и$E<U(x)$, классически запрещенная область. Если вы проработаете это, вы обнаружите, что в разрешенной области волновая функция изгибается к нулевой оси, как синусоида, а в запрещенной области волновая функция изгибается от нулевой оси, как экспоненциальная функция.

Эти две области просто говорят вам, в какую сторону изгибается волновая функция. Они оба имеют одинаковую энергию, поскольку являются частью одного и того же собственного состояния энергии. Лучшее, что вы можете сделать, это сказать, что кинетическая энергия$\hat T\psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(x)$отрицательно в запрещенной области, но опять же, это не очень полезная величина, потому что в конечном итоге вас интересуют ожидаемые значения$\langle\hat T\rangle$

Подумайте об одном собственном состоянии, энергии, о том, как меняется состояние со временем (хорошо, с коэффициентом$i\hbar$) но никогда не говорят, что отрицательная энергия не допускается. На самом деле отрицательная энергия означает рост и распад для собственного состояния с одной энергией, а положительная энергия означает волновое колебание. Внутри стены она будет расти или распадаться, потому что энергия отрицательна.

Энергия всегда описывает, как вещи развиваются (независимо от того, КМ она или классическая), но КМ говорит, что это эволюция волновой функции, и она может быть как отрицательной, так и положительной. В QM нет предвзятости. Затем вы просто суммируете все собственные состояния и получаете окончательную функцию.

Аргументация в вопросе следующая:

• Существует конечная вероятность найти частицу внутри барьера
• Если частица находится внутри барьера, ее энергия отрицательна.
• Состояния с отрицательной (кинетической) энергией невозможны

Кажущийся парадокс здесь возникает из-за смешения классических и квантовых концепций. Заметим сначала, что внутри барьера нет государства . Состояние частицы в этом случае представляет собой рассеянную волну, уходящую в бесконечность. Вероятность того, что измерение найдет частицу внутри барьера, действительно отлична от нуля. С другой стороны, в классической физике состояние отождествляется с определенным положением и импульсом, т.е. измеренное положение частицы и есть ее состояние. Как только мы локализовали квантовую частицу в определенном месте, она больше не находится в состоянии рассеяния и имеет неопределенные импульс и энергию.

Во-вторых, давайте рассмотрим, что означает сохранение энергии в квантовой механике.

• Мы могли бы рассматривать это как факт, что частица в собственном энергетическом состоянии навсегда остается в этом собственном состоянии. Но здесь это не имеет значения, так как мы выполняем измерение, сворачивая волновую функцию в собственное состояние положения.
• Это можно рассматривать с точки зрения соотношения неопределенностей, как обсуждалось в ответе KDN.
• Наконец, его можно рассматривать с точки зрения принципа соответствия и теоремы Эренфеста, где это будет сохранение средней энергии в квантово-механическом смысле: $$\langle\frac{p^2}{2m}\rangle + \langle U(x)\rangle \neq \frac{\langle p\rangle^2}{2m} + U(\langle x\rangle),$$ где слева мы имеем среднюю энергию в КМ-смысле, тогда как справа ее классическая оценка, вытекающая из рассуждения в вопросе. Это не то же самое.

Подводя итог: квантовая механика кажется парадоксальной только до тех пор, пока полагаешься на интуицию, основанную на классической физике.

По-видимому, дополнительная энергия может быть извлечена из Вселенной за очень короткий период времени, соответствующий соотношению неопределенностей, заданному формулой

$$\Delta E\times \Delta t\ge\frac{h}{4\pi}$$ На этом основана квантовая электродинамика (квантовая теория, объясняющая электростатическую силу между зарядами). Рассмотрим это: электрон A находится в пространстве, другой электрон B находится в электрическом поле первых электронов. Теперь этот электрон A выпустит фотон (очевидно, заимствуя для него энергию у Вселенной), другой электрон B поглотит его и отправит другой фотон обратно к электрону A и, следовательно, испытает присутствие электрона A там (силу) через фотоны. (первый электрон также будет испытывать присутствие электрона B аналогичным образом). Эта энергия, занятая электроном А для испускания фотона, должна быть возвращена в течение интервала$\Delta t$,(возвращающимся фотоном поглощается из электрона B). Так электроны чувствуют присутствие друг друга. Эти фотоны называются виртуальными, потому что мы не можем их обнаружить. Это может быть не совсем физически верно, но теория действительно включает нарушение закона сохранения энергии из-за принципа неопределенности Гейзенберга.

Вот что сделал Эрвин Шредингер:

    Imagine you put a cat in a box, and leave it in there for a day. Now imagine 
you are going to take the cat out, but before you open the box, you don't know if 
it is dead or alive. So in that moment, the cat exists in two states at once, both
dead *and* alive. Therefore the cat is now in two states, in two places, and in two
forms of reality. This is known as quantum tunneling, as reality diverges into two 
types: one where the cat is dead and one where the cat is alive. This can apply to
particles and quantum fields, and allow for a gap to open in spacetime.

Имеет ли это смысл сейчас?