Уравнение энергии в квантовой механике

1. Уравнение Шрёдингера нельзя вывести из классической физики. Существуют различные проверки согласованности и мотивации , такие как ее согласованность с сохранением энергии, но она не вытекает из этих соображений. Однако то, что уравнение Шредингера сохраняет энергию, встроено, когда известно, что гамильтониан является оператором энергии, поскольку

   $$\partial_t \lvert \psi \rangle = \frac{1}{i\hbar}H\lvert \psi \rangle$$ означает, что оператор временной эволюции$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}tH}$, поэтому оператор энергии коммутирует с оператором эволюции, поэтому не имеет значения, измеряю ли я энергию до или после эволюции, поэтому энергия сохраняется.

2. Квантовая версия законов сохранения немного тонкая, есть разные способы назвать величину «сохраняющейся»:

   • В картине Гейзенберга операторы зависят от времени, и сохранение означает, что производная оператора по времени равна нулю. По уравнению движения Гейзенберга

     $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A = \frac{\mathrm{i}}{\hbar}[H,A]$$ и соответствие квантового коммутатора классической скобке Пуассона ¹ в классическом уравнении движения $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A = \{A,H\}$$ показывает, что классически сохраняющиеся величины будут сохраняться таким образом в картине Гейзенберга.

   • Независимо от изображения, можно говорить об ожидаемых значениях операторов. По теореме Эренфеста

     $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle_\psi = \langle\frac{\mathrm{i}}{\hbar}[H,A]\rangle_\psi$$ поэтому снова, если коммутатор с гамильтонианом обращается в нуль, то среднее значение постоянно во времени.

В целом вы видите, что наблюдаемая сохраняется, когда она коммутирует с гамильтонианом. Однако, поскольку наблюдаемые не имеют определенных значений для большинства состояний, нужно быть осторожным, что именно имеется в виду , когда говорят, что что-то сохраняется квантово-механически.

Это становится более тонким в квантовых теориях поля, где правильными утверждениями о сохраняющихся величинах являются тождества Уорда-Такахаши .

^{1 Наивный канонический рецепт квантования заменяет$\{,\}$к$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[,]$. В некоторых случаях это может привести к сбою и потребовать квантовых поправок порядка$\hbar^2$, см. также этот пост Phys.SE.}

Квантовая механика не является производной от классической механики или сохранения энергии, но в классической механике есть «точки отскока», которые могут помочь ответить на ваш вопрос.

Если вы изучите классическую механику на достаточно высоком уровне, вы откроете для себя гамильтонов формализм. Гамильтониан для изолированной системы только с консервативными взаимодействиями представляет собой энергию, и она сохраняется. В таких системах это функция обобщенных координат (q) и их производных по времени ($H(q, \frac{dq}{dt})$). В гамильтоновом формализме есть объекты, называемые скобками Пуассона (я оставлю вам самим искать их определение, но они представлены вот так [a,b]). Как только вы поймете скобки Пуассона, вы сможете показать, что уравнения движения для вашей системы таковы:

Теперь давайте перейдем от классической механики к квантовой механике. Гипотеза Планка заключалась в том, что энергии больше не непрерывны, а дискретны (всегда пропорциональны постоянной Планка h). Он был вынужден ввести это предположение, чтобы вывести кривую излучения абсолютно черного тела. Гейзенберг понял, что сможет сохранить большую часть классического формализма, если введет операторы для классических переменных и свяжет их скобку Пуассона с коммутатором операторов следующим образом:

Шредингер понял, что может составить дифференциальное уравнение для чего-то, называемого волновой функцией, подставив операторы Гейзенберга в классическую функцию Гамильтона. Потребовалось некоторое время, чтобы вероятностная интерпретация волновой функции застыла и доказала, что подход, основанный на уравнении Шрёдингера, полностью эквивалентен матричной механике Гейзенберга, но в двух словах именно так родилась квантовая механика (каламбур). Чтобы меня не проголосовали за пренебрежительное отношение к Бору и старой квантовой теории (ОКТ), я должен добавить, что считаю ОКТ зарождением (а не рождением) квантовой теории.

Давайте сделаем вещи немного веселее.

1. Как мы можем использовать уравнение сохранения энергии для вывода уравнения Шрёдингера в КМ?

Допустим, мы знаем гильбертово пространство системы$\mathcal H$и мы знаем, как определить гамильтониан$H:\mathcal H \rightarrow \mathcal H$среднее значение которого$\langle \psi | H | \psi\rangle$обеспечивает среднюю энергию в состоянии$|\psi\rangle \in \mathcal H$.

Нам нужно уравнение эволюции для$|\psi\rangle$который удовлетворяет следующим простым условиям:

• Он экономит энергию:

  $$\frac{d}{dt}\langle \psi | H | \psi\rangle = \langle \dot\psi | H| \psi \rangle + \langle \psi | H | \dot\psi \rangle = 0$$

• Он сохраняет вероятность:

  $$\frac{d}{dt}\langle \psi | \psi\rangle = \langle \dot\psi | \psi \rangle + \langle \psi | \dot\psi \rangle = 0$$

• Он делает вышеизложенное нетривиальным способом, так что$| \dot \psi \rangle \neq 0$, или эквивалентно,$\langle \dot \psi | \dot \psi \rangle > 0$. На самом деле мы можем потребовать, чтобы$| \dot \psi \rangle$быть таким, что$\langle \dot \psi | \dot \psi \rangle > 0$максимальна при вышеуказанных ограничениях (минимум скучен) и, следовательно, требует следующего уравнения в вариациях:

  $$\delta_{\dot\psi^*, \dot\psi} \left[ \langle \dot \psi | \dot \psi \rangle - \lambda \left( \langle \dot\psi | H| \psi \rangle + \langle \psi | H | \dot\psi \rangle \right) - \mu \left( \langle \dot\psi | \psi \rangle + \langle \psi | \dot\psi \rangle \right) \right] = 0$$ где$\lambda$,$\mu$являются на данный момент реальными вариационными параметрами. Заметим, однако, что преобразования вида$|\dot\psi\rangle \rightarrow |\dot\psi\rangle - i\alpha H |\psi\rangle - i\beta |\psi\rangle$, для произвольного действительного$\alpha$,$\beta$, оставьте оба ограничения сохранения неизменными, изменив уравнение в вариациях на $$\delta_{\dot\psi, \dot\psi^*} \left[ \langle \dot \psi | \dot \psi \rangle - \lambda \langle \dot\psi | H| \psi \rangle - \lambda^* \langle \psi | H | \dot\psi \rangle - \mu \langle \dot\psi | \psi \rangle - \mu^* \langle \psi | \dot\psi \rangle \right] = 0$$ где мы устанавливаем$\lambda + i \alpha \rightarrow \lambda$,$\mu + i \beta \rightarrow \mu$и игнорируемые термины, не содержащие$\dot\psi$,$\dot\psi^*$так как они не вносят вклад в вариации. Требование, чтобы это уравнение в вариациях также оставалось инвариантным при таких преобразованиях, говорит нам, что правильная форма должна быть приведенной выше, с$\lambda$,$\mu$сложные параметры. Принимая теперь вариации на$\langle \dot\psi |$,$|\dot\psi\rangle$дает соответственно $$|\dot\psi\rangle = \lambda H |\psi\rangle + \mu |\psi\rangle \\ \langle \dot\psi | = \lambda^* \langle \psi | H + \mu^* \langle \psi |$$ Затем два ограничения сохранения дают $$Re\lambda \;\langle \psi | H | \psi\rangle + Re\mu \;\langle \psi | \psi\rangle = 0 \\ Re\lambda \;\langle \psi | H^2 | \psi\rangle + Re\mu \;\langle \psi | H | \psi\rangle = 0$$ и поэтому $$Re\lambda = Re\mu = 0$$ пока не$\langle \psi | (\Delta H)^2 | \psi\rangle = 0$. Это оставляет нас $$|\dot\psi\rangle = i\; Im\lambda \;H |\psi\rangle + i\;Im\mu \;|\psi\rangle$$ или после поглощения$Im\mu$как фазовый фактор ($|\psi\rangle \rightarrow e^{iIm\mu t}|\psi\rangle$, предполагая$Im\mu$независимый от времени; в противном случае используйте интеграл времени в показателе степени), $$|\dot\psi\rangle = i \;Im\lambda \;H |\psi\rangle$$ Наконец, природа говорит нам определить$i\; Im\lambda = \frac{1}{i\hbar}$, и вот уравнение Шредингера: $$i\hbar|\dot\psi\rangle = H |\psi\rangle$$
  2. Какова справедливость уравнения сохранения энергии в КМ?

Очень правильно в том смысле, что среднее сохраняется, как указано выше. Ответ ACuriousMind охватывает детали в более широком контексте.