Как вывести 1-й закон Кеплера?

Должен сказать, что согласен с вами, такой способ вывода закона Кеплера не самый интуитивный, может быть, поэтому и уточняют: "пересмотренный".

Р1: Причина указана в самом начале главы, где вы выводите связь между$r$и угол к перигелию$\theta$для общего случая эллипса (уравнение 3 в вашей книге в главе 2.1 Эллиптическая орбита, но я вижу, что у меня более старая версия, чем ваша), где:

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\,cos(\theta)}$$

здесь эксцентриситет эллипса определяется как:

$$e = \sqrt{1- \frac{b^2}{a^2}}$$

в случае закона Кеплера вы можете определить эксцентриситет как$e = D/\mu G M$и$a$как:

$$a = \frac{L^2 G\, M}{\mu^2\,G^2\,M^2 - D^2}$$

и вы можете работать в уравнении (29), получая уравнение в том же виде, что и для эллиптической орбиты.

Причина получения$r$потому что он указывает расстояние объекта от фокальной точки (центра масс системы), что в случае солнечной системы является расстоянием планеты от Солнца (фактически фокальной точкой солнечной системы, или, лучше сказать, системы Солнце-Юпитер, находится в нескольких километрах над поверхностью Солнца).

R2: эксцентриситет$e$количественно определить форму конуса в поперечном сечении Эксцентриситет (математика) Википедия .

Например, в случае эллипса у вас есть$0 < e < 1$, и это указывает, насколько эллипс "раздавлен". Другой пример, если у вас есть$e=0$чем у вас есть круг.

В случае$e=1$у вас есть парабола, из уравнения$e$выше это означает, что$a\gg b$. В более физическом смысле это означает, что система не находится в гравитационно-связанном состоянии , и менее массивный объект$m_1 \ll m_2$движется по параболической траектории, отклоненной гравитационным притяжением$m_2$, и не останется на орбите.

После тщательных исследований и размышлений мне удалось ответить на свой вопрос, но я собираюсь поделиться ответом, видя, что никто не ответил на него удовлетворительно.

Q1: вектор положения$\vec{r}$приведенной массы также является относительным расстоянием между двумя массами, поэтому, если уменьшенная масса совершает эллиптическое движение вокруг своего центра масс, это эквивалентно взятию системы отсчета одного из объектов в двоичной системе и измерению вектора положения другого объекта, поскольку$\vec{r}$является относительным расстоянием. Следовательно, первый закон Кеплера на самом деле говорит о том, что в бинарной системе объекты будут совершать эллиптическое движение по отношению к другому объекту.

Q2: Поскольку эксцентриситет стремится к 1, обратите внимание, что из формулы$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$что если бы e стремилось к 1,$\frac{b^2}{a^2}$должен стремиться к 0, и это заставило бы эллипс приблизиться к форме линии (но важно отметить, что$e=1$получится парабола, а не прямая линия). На линии, поскольку векторы скорости и положения параллельны, L будет равно 0 (поскольку$L=m\vec{r}\times \vec{v}$и если они параллельны, перекрестное произведение будет 0)