Как записать ε=IRε=IR\varepsilon=IR для петли, движущейся в постоянном магнитном поле?

Хороший вопрос. По моему опыту, большинство вводных статей об Э&М не дают подробного объяснения точного сходства и различия между напряжением и электродвижущей силой (ЭДС), а также того, когда вы можете и не можете использовать эти понятия взаимозаменяемо.

Напряжение и ЭДС формально определяются точно так же, как (отрицательный) линейный интеграл электрического поля по некоторому пути:$-\int_A^B {\bf E} \cdot d{\bf l}$. Но термины используются в разных контекстах. Напряжение используется в электростатическом контексте, когда магнитные поля существенно не изменяются с течением времени, а электрическое поле создается фиксированными электрическими зарядами (или химическими потенциалами и т. д.). ЭДС используется в контексте закона Фарадея, где электрическое поле индуцируется изменяющимся во времени магнитным полем. В ситуациях, когда оба исходных заряда представляют собой переменные во времени магнитные поля, различие может стать немного размытым.

Другое отличие состоит в том, что в магнитостатической ситуации значение линейного интеграла не зависит от пути и зависит только от конечных точек. Следовательно, напряжение обычно рассматривается как свойство, связывающее две точки в пространстве, в то время как ЭДС явно зависит от пути, который проходит провод между конечными точками.

Но оба они имеют эффект проталкивания тока через проводники. Вы можете использовать ЭДС вместо напряжения практически во всех формулах, касающихся постоянного электрического тока в проводах, если ситуация достаточно квазистатична, чтобы вы могли предположить, что электрическое поле однородно вдоль провода (что на практике почти всегда является случай).

Для комбинированного отношения не существует доказательства:

$I=-\frac{d \Phi}{d t}/R$

... потому что это верно не во всех случаях.

Это происходит потому, что ток, индуцируемый в контуре, создает собственный внутренний магнитный поток, противодействующий внешнему магнитному потоку в соответствии с законом Ленца. Эта реакция изменяет переменную$\Phi$в уравнении выше.

Рассмотрим предельный случай, когда сопротивление закороченного контура равно нулю (такое действительно может случиться в сверхпроводящих контурах).

Согласно этому соотношению Закона Ома:$I=\mathcal{E}/R$
... любой индуцированный$\mathcal{E}$будет генерировать бесконечный ток в петле. Это было бы абсурдно.

На самом деле в таком случае происходит то, что СУММА внешнего потока + поток, создаваемый током, индуцированным в петле, = ПОСТОЯННАЯ.

Посмотрите на эту симуляцию петли R = 0, движущейся через поле постоянного магнита.

Моделирование выше изображает петлю, движущуюся по полю магнита, а не поперек однородного поля, но принцип изменения потока, охватываемого петлей, тот же.

Причина этого в том, что любое изменение чистого потока требует ненулевого$\mathcal{E}$вокруг петли, что требует бесконечного тока, поэтому чистый магнитный поток через петлю не может измениться. Поток от самоиндукции$L$контура должен быть равен и противоположен внешнему потоку, таким образом, мы заключаем, что в короткозамкнутой катушке без сопротивления максимальный индуцированный ток НЕЗАВИСИМ от$\frac{d \Phi}{d t}$и просто равно$I=-\frac{\Phi}{L}$.

В этой ситуации на свободные электроны в верхнем сегменте петли будет действовать магнитная сила, толкающая их влево и создающая разность потенциалов vBl между двумя концами этого сегмента. С другой стороны, замкнутая проводящая петля, полностью находящаяся в однородном магнитном поле, которое меняется со временем, будет испытывать ЭДС, толкающую электроны по петле, но разность потенциалов будет рассеиваться от точки к точке по мере того, как ток проходит через сопротивление цепи. проводник.

Если петля движется вниз со скоростью$v_y$, для магнитного поля B ширина петли$L$, а часть высоты петли в поле$= y$,

Как вы сказали, в проводнике создается электрическое поле:

Если оно непостоянно, изменяющееся магнитное поле, создаваемое током в проводнике, создает электрическое поле, противодействующее этому току. Итак, строго говоря,$V \neq RI$в этом случае. На практике этот второй эффект очень мал, за исключением большой индуктивности и малого сопротивления проводника.

Оба эффекта должны оцениваться вместе, что математически означает, что 2 уравнения Максвелла:

должны выполняться одновременно для всех полей.

Закон Ома в виде

Общий закон Ома (без учета магнитных сил)

где$\mathbf E$полное электрическое поле ,$\mathbf E^*$- полная неэлектрическая сила на единицу заряда (в данном случае сила, вызванная движением провода в магнитном поле).

Мы можем проинтегрировать обе части общего закона Ома для некоторого участка цепи следующим образом:

Если представить, что провод цепи представляет собой тор с площадью поперечного сечения$A$и длина$L$, мы можем провести интегрирование по всей замкнутой цепи, и тогда мы получим

Мы знаем из средней школы, что омическое сопротивление цепи равно

Это другая (интегральная) форма общего закона Ома.