Какая интуиция стоит за отношениями Крамерса-Кронига?

Соотношения Крамерса-Кронига являются выражением в частотной области Фурье того факта, что линейная восприимчивость$\chi(\tau)$является причинной функцией, т. е. диэлектрический отклик сигнала$f$к принуждению$F$имеет форму

$$f(t) = \int_0^\infty \chi(\tau) F(t-\tau) \mathrm d\tau = \int_{-\infty}^\infty \theta(\tau)\chi(\tau) F(t-\tau) \mathrm d\tau$$ с $\theta(\tau)$ступенчатая функция Хевисайда, так что $f(t)$не зависит от $F(t')$для $t'>t$.

---

Один из способов понять, как это приводит к соотношениям Крамерса-Кронига, состоит в том, чтобы исследовать преобразование Фурье$\chi(\tau)$напрямую,

$$\tilde \chi(\omega) = \int_{-\infty}^\infty \chi(\tau) e^{i\omega\tau} \mathrm d\tau = \int_{0}^\infty \chi(\tau) e^{i\omega\tau} \mathrm d\tau,$$ где ядро ​​Фурье $e^{i\omega\tau}$вызывается только по одностороннему лучу. Следовательно, это означает, что если преобразование Фурье $\tilde\chi(\omega)$оценивается на частоте $\omega$с положительной мнимой частью, то неравенство треугольника применяется как $$|\tilde \chi(\omega)| \leq \int_{0}^\infty |\chi(\tau)| e^{-\mathrm{Im}(\omega)\tau} \mathrm d\tau$$ гарантирует, что (пока $\chi(\tau)$принадлежит к классу $L_1$, что обычно является стандартным предположением для преобразования Фурье по вещественному $\omega$определить в первую очередь) $\tilde\chi(\omega)$определена и аналитическая по всей комплексной верхней полуплоскости $\omega$.

Это чрезвычайно важно, так как класс аналитических функций чрезвычайно жесткий, и это накладывает жесткие ограничения на поведение$\tilde\chi(\omega)$. Одним из таких ограничений является Крамерс-Крониг — по сути, версия интегральной формулы Коши, примененная к контуру, идущему вдоль действительной оси, с бесконечно малой полупетлей над полюсом, а затем обратно по окружности на бесконечности .

---

Однако я не думаю, что это самый полезный способ увидеть вещи, и есть прекрасный аргумент во временной области, который намного яснее; это довольно хорошо объяснено в Википедии , но стоит повторить здесь. Если смотреть с точки зрения временной области, отношение Крамерса-Кронига представляет собой простую смесь двух ключевых идей:

• Действительная и мнимая части преобразования Фурье.$\boldsymbol{ \tilde\chi(\omega)}$находятся во взаимно однозначном соответствии с четной и нечетной частями временной области$\boldsymbol{\chi(\tau)}$Это простая часть стандартного знания Фурье: если функция четна, ее преобразование Фурье действительно, а если нечетно, то ее преобразование мнимо; для произвольных функций просто добавьте два.

• Если функция всегда равна нулю$\boldsymbol{\tau<0}$то его четная и нечетная части должны быть равны при$\boldsymbol{\tau>0}$и напротив в$\boldsymbol{\tau<0}$. Другими словами, единственный способ получить$\chi(\tau)=0$для всех$\tau<0$состоит в том, чтобы четная и нечетная части были заданы

  $$\begin{align} \chi_\mathrm{even}(\tau) & = \frac12 \chi(|\tau|) \\ \chi_\mathrm{odd}(\tau) & = \frac12 \mathrm{sgn}(\tau)\chi(|\tau|), \end{align}$$ или другими словами $$\chi_\mathrm{odd}(\tau) = \mathrm{sgn}(\tau)\chi_\mathrm{even}(\tau) \quad \text{and} \quad \chi_\mathrm{even}(\tau) = \mathrm{sgn}(\tau)\chi_\mathrm{odd}(\tau).$$

Соотношения Крамерса-Кронига - это просто преобразования Фурье этих двух тождеств, использующие теорему свертки для вычисления преобразований этих произведений. Это делает эти преобразования извилинами,

$$\mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{odd}\right] = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{even}\right] \quad \text{and} \quad \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{even}\right] = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{odd}\right]$$ и если мы вложим это первое понимание, мы получим $$i\operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} \quad \text{and} \quad \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast i\operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{},$$ и если мы сделаем эти свертки явными, мы получим $$\begin{align} \operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega)\right) \mathclose{} & = -i\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right](\omega-\omega') \, \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega') \right) \mathclose{} \mathrm d\omega' \quad \text{and} \\ \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega)\right) \mathclose{} & = i \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right](\omega-\omega') \, \operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega') \right) \mathclose{} \mathrm d\omega' \end{align}$$ (по модулю того факта, что меня не волнует нормализация преобразований и сверток).

Что касается основных моментов интуиции, то на самом деле это так: эти тождества теперь находятся в той же структурной форме, что и окончательные соотношения Крамерса-Кронига, и остается только вычислить преобразование Фурье знаковой функции : как и преобразование Фурье функции Хевисайда , является распределением, и его преобразование Фурье нетривиально вычислить, но именно отсюда берется главное значение Коши.

Итак, наконец, позвольте мне завершить это графическим описанием процесса из Википедии:

^{Источник изображения}

Соотношения Крамерса-Кронига - это просто утверждение о том, что функция является причинной во временной области, или, в частности, функция во временной области имеет вид

$$\epsilon(t)=\theta(t)f(t)$$

Где$f(t)$является некоторой функцией времени, и$\theta$— тета-функция Хевисайда, которая равна нулю для отрицательных моментов времени.

Физически это означает, что диэлектрическая функция является причинной, она отлична от нуля только после того, как система почувствует импульс.

Вы можете посмотреть эту ссылку для получения дополнительной информации

http://dx.doi.org/10.1088/0143-0807/33/6/1635