Диэлектрическая сфера в изначально однородном электрическом поле и теория представлений SO(3)

Недавно я узнал, что сферическая гармоника высшего порядка, необходимая для представления пространственного распределения продуктов распада частицы, может быть использована для определения ее спина с помощью аргументов, включающих теорию представления SO(3)/добавление углового момента.

Я ищу аналогичный аргумент для хорошо изученной проблемы диэлектрической сферы в однородном электрическом поле. Это, например, решено в «Электродинамике» Гриффитса, раздел 4.7 третьего издания (я использую издание по низким ценам из Индии, где оно находится на странице 205). В конце этой задачи он заключает, что «поле внутри (на удивление) однородно».

У меня есть ощущение, что этот результат менее удивителен, если применить идеи из теории представлений SO(3), но я не уверен, как точно сформулировать аргумент. Вот мой расплывчатый ход мыслей: поле является векторным полем с определенным направлением, поэтому оно имеет одну единицу углового момента (или задается л "=" 1 сферическая гармоника). Следовательно, индуцированный поверхностный заряд на диэлектрической сфере должен быть равен п 1 ( потому что ⁡ θ ) "=" потому что ⁡ ( θ ) . Поле внутри представляет собой векторное поле, возникающее из этих зарядов, поэтому оно снова должно быть однородным.

Я также пытаюсь использовать это, чтобы определить наивысший порядок (т.е. наивысший л ) компонент Д л м в полном электрическом поле после учета поляризации сферы.

Ответы (1)

Наличие разрывов внешнего электрического поля С О ( 3 ) к С О ( 2 ) . Предположим, что Е ориентируется вдоль г -оси, затем вращается вокруг г -ось (разумеется, выбранная для прохождения через центр сферы) является симметрией в задаче. Этот С О ( 2 ) инвариантность означает только то, что потенциал не зависит от ф , полярный угол. Таким образом, имеем, что скалярный потенциал имеет вид: Φ ( р , г ) (в цилиндрических полярных координатах) или Φ ( р , θ ) (в сферических полярных координатах).

Теперь можно использовать более общее решение уравнения Лапласа вне диэлектрической сферы, например, чтобы увидеть, что ф независимость устанавливает все условия, связанные с Д л м для м ≠ 0 до нуля. Именно граничные условия заставляют л > 1 гармоники исчезают. Так что это не следует из соображений симметрии.

Изменить: электрическое поле в пространственной бесконечности преобразуется в граничное условие для уравнения Лапласа. ф "=" − Е р потому что ⁡ θ на сфере большого радиуса р что в пределе р → ∞ становится пространственной бесконечностью. Это заставляет всех л > 1 гармоники исчезают (в области вне диэлектрической сферы) без каких-либо дополнительных вычислений.

То, что вы говорите, мне ясно. В глубине души я думаю следующее: у нас есть Wigner-Eckart thm. в КМ, который имеет дело с операторами «определенного углового момента» или, другими словами, операторами, которые не представляют SO (3). Я пытаюсь получить что-то подобное здесь. Подумайте об операторе л который принимает электрическое поле Е 0 которая существовала до введения диэлектрика, и возвращает электрическое поле внутри сферы Е в "=" л Е 0 . Теперь я хочу сказать, что л преобразует как тензор и использует это, чтобы увидеть, как самая высокая буква «l» в E_0 связана с самой высокой буквой «l» в E_{in}
Хорошая точка зрения. Позвольте мне попытаться перефразировать то, что вы говорите, следующим образом: можем ли мы использовать тот факт, что Е преобразуется как вектор под С О ( 3 ) показать, что высшие гармоники не могут дать вклад в скалярный потенциал? Это может сработать, но мне нужно еще немного подумать об этом.
Диэлектрическая сфера в изначально однородном электрическом поле и теория представлений SO(3)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v