Какова связь между различными типами квантовых теорий поля?

Насколько мне известно, все известные квантовые теории поля имеют одну и ту же очень широкую структуру: сначала дается некоторый конечный список данных, чтобы указать конкретную КТП, а затем используется некоторый формализм для алгоритмического извлечения различных физических наблюдаемых из этих определяющих данных. (Полагаю, философ мог бы сказать, что все физические теории следуют одной и той же базовой схеме.)

Но то, как работает эта общая структура, выглядит очень по-разному для разных типов КТП:

  • «Стандартная» КТП, основанная на лагранжиане, определяется особым выбором плотности лагранжиана, содержащей только перенормируемые члены взаимодействия. Более конкретно, «входные данные», определяющие теорию, представляют собой список полей и конечный набор констант связи между этими полями. Наблюдаемые, которые выходят из этой структуры, в первую очередь н -точечные корреляционные функции различных полей. (Хотя не обязательно все возможные корреляционные функции — например, для калибровочных теорий физически наблюдаемы только корреляционные функции калибровочно-инвариантных величин. Эти корреляционные функции не всегда являются «окончательным ответом» — например, мы могли бы включить их в формулу LSZ для получить амплитуды рассеяния вместо этого. И иногда мы могли бы хотеть ответить на вопросы, на которые напрямую не отвечают корреляционные функции - например, знак бета-функции или испытывает ли конкретная теория фазовый переход. Но в принципе, корреляционные функции (прямо или косвенно) определяют все наблюдаемые величины.)
  • Конформная теория поля на первый взгляд выглядит совсем иначе. Мы часто не записываем никакого лагранжиана для КТП, особенно при работе в рамках конформного бутстрапа. «Полный набор данных и условий согласованности, связанных с CFT, вообще неизвестен», как обсуждалось здесь . Но мы полагаем, что, по крайней мере, для скалярных полей в плоском пространстве-времени конформные веса первичного поля Δ я и коэффициенты расширения произведения оператора ф я Дж к вместе образуют достаточные данные CFT. (Эти данные CFT должны учитывать определенные ограничения согласованности, такие как уравнение перекрестной симметрии (которое обеспечивает ассоциативность OPE) и модульную инвариантность в двух измерениях. Могут быть и другие ограничения согласованности.) Но, как и в случае Лагранжа, наблюдаемые, которые выходят за рамки, обычно н -точечные корреляционные функции.
  • Топологическая теория поля снова выглядит совсем иначе. Есть несколько различных способов сформулировать TQFT: в терминах симметричных моноидальных функторов , или плетеных категорий слияния , или модульных тензорных категорий (это семь разных связей). Есть также TQFT типа Шварца, которые обычно появляются в теории конденсированного состояния, и TQFT типа Виттена, которые обычно появляются в теории высоких энергий. Основная идея состоит в том, что TQFT — это отображение топологии пространства-времени в некоторое топологически инвариантное комплексное число. В зависимости от конкретной формулировки исходными данными, задающими конкретный выбор ТКТП, может быть набор ф символы или С а также Т матрицы и т. д., а получаемые «наблюдаемые» представляют собой различные топологические инварианты. Обычно нет полезного понятия н -точечные корреляционные функции.

Очевидно, совсем не ясно, как эти три весьма различных понятия объединить в единый объединяющий понятийный аппарат. У меня есть два связанных вопроса об отношениях между ними:

  1. При использовании без оговорок термин «квантовая теория поля» обычно относится к формализму, основанному на Лагранже. Мы часто интуитивно думаем о двух других как о частных случаях этого. Например, мы часто думаем о КТП как о неподвижной точке ренормгруппы некоторой неконформной КТП, но редко записываем лагранжиан КТП в явном виде. На самом деле многие КТП вообще не имеют известного лагранжевого описания. Есть даже подозрение, что некоторые CFT, такие как ( 2 , 0 ) суперконформной теории поля в шести измерениях, не имеют возможного лагранжевого описания, хотя, по -видимому, нет доказанной теоремы о запрете . Точно так же TQFT типа Шварца часто считают основанными на лагранжианах теориями, чьи лагранжианы не зависят от метрики пространства-времени. На самом деле, можно было бы думать обо всех ТКТП типа Шварца как о КТП, поскольку плотность лагранжиана любой ТКТП типа Шварца тривиально преобразуется конформно (т.е. грамм мю ν ( Икс ) → Λ ( Икс ) грамм мю ν ( Икс ) ) при произвольных диффеоморфизмах, так как метрика вообще не появляется! (Хотя опять же, на практике КТП и ТКТФ выглядят очень по-разному.) Имейте любое из кажущихся разумными включений TQFT ⊂ ЦФТ или же ЦФТ ⊂ (лагранжева КТП) доказано или опровергнуто? (Этот вопрос связан с этим .)

  2. Пытаются ли попытки математической формализации КТП (например, аксиомы Вайтмана и т. д.) охватить все эти типы КТП одновременно? Если нет, то существует ли какая-либо математическая основа, объединяющая их? Насколько я понимаю, некоторые топологические КТП были сделаны полностью математически строгими, но для КТП, основанных на лагранже, был достигнут небольшой прогресс. Я не уверен, каков статус CFT с точки зрения математической строгости.

+1. Во-первых: я узнал больше из вопроса, чем я ожидаю от ответов. Это краткое изложение предмета, изложенное намного лучше, чем я когда-либо мог. Спасибо, что спросили.
@ Countto10 Я стараюсь быть сократиком в своих вопросах :-)
Вопрос очень интересный, но я несколько не согласен с тем, что подходы различаются в зависимости от рассматриваемой вами QFT. Подход всегда один и тот же: 1) вы определяете лагранжиан, 2) вы даете теорию некоторых симметрий, 3) вы вычисляете корреляционные функции и амплитуды рассеяния. Почему вы сказали, что CFT отличается? Это точно так же (один пример: теория струн).
Отличается подход с алгебраическими формулировками КТП, когда начинают более или менее назначать алгебры или набор корреляционных функций и пытаются вывести теорию (но, как вы упомянули, это не было доказано для всех теорий во всех измерениях) .
Я не чувствую, что это настоящий ответ, но вот мои мысли по этому поводу. Я считаю, что идея о том, что эти подходы в конечном счете связаны, может ввести в заблуждение. Во-первых, лагранжева КТП в большинстве случаев не имеет четкого определения, поэтому, строго говоря, теории не существует. Bootstrap и TQFT — это два разных способа дать определение теории. Некоторые частные случаи могут быть связаны с лагранжевыми теориями или приближенно описываться теорией возмущений. Но в целом четкой связи нет (а почему она должна быть?). PS Аксиомы Вайтмана не удовлетворяются большинством CFT или TQFT.
@GennaroTedesco Суть вопроса в том, что в CFT вы обычно не начинаете с определения лагранжиана. Как я уже упоминал, предполагается, что некоторые КТП даже не имеют лагранжевого описания. А в TQFT обычно вычисляются не корреляционные функции (которые, естественно, зависят от нетопологически инвариантного пространственно-временного интервала), а скорее топологические инварианты пространственно-временного многообразия.
@tparker «в CFT вы обычно не начинаете с неправильного определения лагранжиана», см. Действие Полякова в теории струн. Вы имеете в виду алгебраическую квантовую конформную теорию поля, но это совсем другое дело.
@GennaroTedesco Я не думаю, что один единственный пример является хорошим аргументом в пользу того, что что-то «обычно» верно. Но если вам не нравится, как я использую слово «обычно», вы можете мысленно заменить его словом «иногда».
@tparker Что ж, следуя вашему аргументу в пользу каждой существующей лагранжевой теории, вы всегда можете изобрести ту же самую точную теорию без лагранжиана, поэтому весь первоначальный вопрос, который вы задали, не имел бы смысла. Исторически КТП определялась с помощью лагранжианов, и только потом люди начали пытаться получить те же результаты в абстрактной формулировке. Какой бы подход к КТП вы ни выбрали, этот подход работает одинаково для всех теорий, так что ваше первоначальное различие снова не имеет смысла.
«Стандартная» КТП (КГ, Дирак) с формулами LSZ (которые вы считали производными от лагранжевых формализмов) также может быть получена без лагранжевых формализмов (см. АКТП); точно так же можно получить и абстрактную КТП, используя стандартные лагранжевы действия (Поляков и им подобные). Итак, опять же, как только вы выберете исходный подход (лагранжев или абстракционист), вы сможете вывести все теории из этого подхода (ну, почти все).
@GennaroTedesco «Стандартный» QFT (KG, Dirac) с формулами LSZ (которые, как вы предполагали, получены из лагранжевых формализмов) также можно получить без лагранжевых формализмов (см. AQFT). Это утверждение неверно. В качестве контрпримера рассмотрим четырехмерную теорию Янга-Миллса. Он имеет четко определенные амплитуды для всех порядков петель, но алгебраический подход к нему до сих пор не найден. Точно так же существует 6d (2,0) суперконформная теория (упомянутая в вопросе), которая была определена с использованием бутстрапа, но для которой еще не найдено лагранжевого описания.
@SolenodonParadoxus Я согласен, но я имел в виду бесплатный KG и Дирак. В целом я считаю, что вопрос смешивает два разных подхода (лагранжев и абстрактный), ошибочно принимая их за свойства КТП (которые в исходном вопросе рассматриваются как «только абстрактные» или «в основном абстрактные»), а не просто два разных способа выполнение QFT, для которого исследования пытались заполнить оставшиеся пробелы.
Насколько мне известно, каждая физическая реализация КТП имеет лагранжево происхождение: действительно есть модели, которые, как можно доказать, не имеют лагранжевых формулировок, но они не реализуют какое-либо существующее в природе взаимодействие, которое нельзя проследить до лагранжевых уравнений движения. С другой стороны, если бы существовала физическая теория, которая могла бы быть выведена только из нелагранжевого происхождения, то я бы непременно согласился с вами.
@GennaroTedesco ключевое слово «пока» :) И я считаю, что вопрос OP был более математическим, он никогда не говорил, что интересующие его QFT должны соответствовать чему-то экспериментально проверенному.
Являются ли эти три разные теории поля или специфичными только для КТП (до этого вопроса не знал, что существует «множество» КТП, так что спасибо)? Это означает, что эти «разные», такие как скалярное и векторное исчисление, «разные»? Или они совершенно разные по формализму и подходу?
@honeste_vivere Я не понимаю ваш первый вопрос, но я бы сказал, что эти три класса теории поля совершенно разные по своему формализму и подходу, и ни один из них не является очевидным обобщением любого из других, поэтому различия намного больше. чем различия между скалярным и векторным исчислением. Например, в КТП мы не используем диаграммы Фейнмана, которые необходимы в КТП на основе Лагранжа.
@tparker Извините, я пытался спросить, были ли различия в разных разделах математики и физики. Это означает, что разные теории поля — это разные подтемы в математической теме теории поля или они специфичны для физики? (почувствуйте, что я все еще не очень хорошо это задаю) Это не очень важно, скорее вопрос, вызванный любопытством, чем что-либо, что может помочь вам найти ответ.
@honeste_vivere Теперь я понимаю ваш вопрос. Я думаю, что разные типы теорий описываются совершенно разными разделами математики — например, КТПФ описываются плетеными категориями слияния/модульного тензора, которые не имеют ничего общего с КТП на основе Лагранжа.

Ответы (1)

Три класса КТП, на которые вы ссылаетесь, отличаются различными предположениями о симметрии (инвариантность Пуанкаре, конформная инвариантность и инвариантность диффеоморфизма, сохраняющая объем) и различными фоновыми пространствами-временами (Минковский, кривая Римана (или их семейства) и произвольные многообразия). Более того, аксиомы Вайтмана характеризуют только вакуумный сектор пуанкаре-инвариантной КТП.

Каждый набор допущений приводит к очень разным естественным вопросам и построениям, а следовательно, и к разным математическим подходам. Этим и объясняется такое разнообразие подходов. В свете этого разнообразия единая теория была бы концептуально очень поверхностной — слишком общей, чтобы быть ограничительной и, следовательно, полезной — и сразу же разбивалась бы на главы, отличающиеся конкретными допущениями.

Несколько вопросов: (а) почему диффеоморфизмы должны сохранять объем, чтобы ТКТП оставалась инвариантной? (b) Инвариантность диффеоморфизма естественным образом заставляет меня думать об общей теории относительности (которая не только топологическая), а не о топологической КТП. Мне кажется, что ТКТП инвариантны относительно произвольных гомеоморфизмов , что является гораздо более сильной симметрией. Вы согласны? (c) Под «кривой Римана» вы подразумеваете «риманову поверхность»? Я считаю, что это только естественное фоновое пространство-время для особого случая двумерных КТП.
(d) Поскольку группы конформных и гомеоморфизмов содержат группу Пуанкаре, основные состояния КТП и ТКТП являются пуанкаре-инвариантными, поэтому не должны ли аксиомы Вайтмана характеризовать и их?
(e) Поскольку конформная группа содержит группу Пуанкаре, по вашему определению любая КТП должна быть частным случаем «стандартной» КТП. Если действительно существуют КТП без лагранжевого описания, то, нарушив их явным образом, нарушив конформную симметрию при сохранении симметрии Пуанкаре, мы могли бы, по-видимому, получить некорформную, пуанкаре-инвариантную КТП без лагранжевого описания. Как бы мы описали такую ​​теорию?
Продолжая (c): мне кажется, что в более высоких, чем 2D, пространственно-временные фоны как для «стандартных» КТП, так и для КТП одинаковы (пространство-время Минковского).
@tparker: (a) Мне нужны диффеоморфизмы, сохраняющие объем, просто из соображений осторожности. Мне не ясно, сохраняется или нарушается масштабная инвариантность в TQFT; Я недостаточно внимательно его изучил. (b) Я полагаю, что в 2D общая теория относительности топологична. На мой взгляд, топологические теории поля — это как раз теории без динамических полей. (c) сложная кривая = реальная поверхность. (г) Возможно, но все вопросы выглядят очень по-разному для разных групп. Заметим, что существует также много галилей-инвариантных нерелятивистских КТП, для которых аксиомы Вайтмана нарушаются. Также для теорий поля на изогнутом фоне.
(e) Обычные лагранжевы описания по существу (по модулю калибровочных усложнений) являются возмущенными свободными теориями. Возмущающие КТП действительно выполняются и в этом смысле являются обобщением. (c+) В CFT нужно пространство-время плюс бесконечно удаленные точки (или соответствующие покрытия), чтобы иметь глобальное действие конфомной группы. Аксиомы Вайтмана применимы только к ограничению на конечную часть.
(b) Хорошо, но почему вы рассматриваете только 2D? Общая теория относительности в 2D является исключительным явлением, потому что только скаляр Риччи фиксирует всю информацию о внутренней кривизне. И TQFT действительно имеют динамические поля - подумайте о теории Черна-Саймонса (статья в Википедии буквально имеет раздел под названием « динамика »). (c) Опять же, я не уверен, почему вы рассматриваете только 2D.
@tparker: я просто взял 2D-примеры, так как их лучше всего понять.
Какова связь между различными типами квантовых теорий поля?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v