Суперсимметричное обобщение бозонной σσ\sigma-модели в КМ

Прежде чем углубиться в детали, позвольте мне сказать вам, что этот тип действий описывает глубочайшую связь между геометрией и физикой, и обобщения этих типов теорий все еще находятся в стадии активного исследования даже сегодня.

Лагранжиан описывает$N=1$суперсимметричная квантовая механика на римановом многообразии

Бозонная часть этого лагранжиана представляет собой кинетический член частицы, движущейся по римановому многообразию.$\mathcal{M}$наличие метрики$g$. Как хорошо известно, траектории частиц являются геодезическими многообразия. Функции$\phi^i$просто координаты на многообразии.

Фермионные части лагранжиана делают лагранжиан инвариантным относительно преобразований (N=1 суперсимметрии):

$$\delta \phi^i =\epsilon \bar{\psi}^i$$

$$\delta \psi^i = -i \gamma^0 \dot{\phi}^i \epsilon - \Gamma^l_{jk} \bar{\epsilon} \psi^j \psi^k$$

См. следующую статью Луиса Альвареса-Гауме,

Оператор суперсимметрии можно записать в терминах канонических импульсов:

$$\pi_i = g_{ij} \phi^j$$

как:

$$Q= i \pi_i \bar{\psi}^i - \gamma^0 \Gamma_{ijk} \bar{\psi}^i \psi^j \psi^k$$

Легко проверить, что этот оператор порождает правильное преобразование суперсимметрии для заданных канонических скобок Пуассона:

$$\{\phi^i, \pi_j\} = \delta^i_j$$

$$\{\psi^i, \psi^*_j\} = g_{ij}(\phi)$$

Включение фермионных координат в лагранжиан придает спин частице, движущейся по римановому многообразию. Этот факт был открыт Березиным и Мариновым в 1975 году, см. их оригинальную статью (они рассматривают случай плоского пространства-времени).

Самое главное, когда теория квантуется, то если к каноническим правилам квантования добавить

$$\pi_i \rightarrow i \frac{\partial}{\partial \phi^i}$$

канонические правила квантования для фермионных координат

$$\psi^i \rightarrow \gamma^i$$

т. е. квантовать алгебру Грассмана в матрицы Дирака или алгебру Клиффорда (пожалуйста, не путайте с гамма-матрицами в классическом действии, которые должны рассматриваться как числовые коэффициенты), тогда оператор суперсимметрии становится оператором Дирака (в искривленном пространстве). Вот почему это действие описывает вращающуюся частицу.

Кроме того, квадрат оператора суперсимметрии является гамильтонианом Дирака:

$$QQ^{\dagger}+Q^{\dagger}Q = H = \pi_i \dot{\phi}^i + i g_{ij} \bar{\psi}^i \dot{\psi}^j - L$$

Четырехфермионный член выражает тот факт, что в искривленном пространстве гамильтониан Дирака отличается от скалярного гамильтониана. В дифференциальной геометрии этот гамильтониан Дирака является лапласианом на формах.

Одним из важных применений этих типов действий является то, что они используются для получения квантово-механических доказательств различных теорем об индексах.

Теперь нетрудно подумать о следующих обобщениях. Если суперсимметричная квантовая механика в$0+1$измерения описывает вращающуюся частицу, то суперсимметричная сигма-модель в$1+1$размерность будет описывать вращающуюся струну. На самом деле Виттен использовал это наблюдение для вычисления индекса оператора Дирака в пространстве петель.

Частицы можно рассматривать как зонды для изучения геометрии и топологии пространств, в которых они вынуждены двигаться. Классическую частицу можно использовать для изучения геодезических. При квантовании можно получить больше информации, например, энергии, составляющие спектр лапласиана, могут дать топологическую и геометрическую информацию. Когда частице придается вращение, то благодаря этим теоремам об индексах можно вывести еще больше топологической информации, например, вращающиеся частицы могут видеть отверстия и ручки в многообразии.

В частности, рассматриваемая модель может быть использована для доказательства теоремы Атьи-Зингера для индекса оператора Дирака (разность между числом нулевых мод$Q$и$Q^\dagger$) на римановом многообразии и оценить результат с помощью интеграла по путям статистической суммы. См. следующую статью Фридана и Винди.

$$ind(Q) = \int \mathcal{D} \phi \mathcal{D} \psi e^{i \int_{PBC} L dt}$$

(PBC обозначает периодические граничные условия). Нулевые моды гамильтониана Дирака - это просто гармонические формы, которые порождают комплекс де Рама многообразия.

Наконец, если мы заменим частицу струной, мы сможем получить гораздо больше топологической и геометрической информации о многообразии.