Какие предположения я должен был бы сделать, чтобы строго доказать, что мощность равна силе, усеянной скоростью, P=F⋅vP=F⋅vP=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}?

Есть известная формула силы п действует на точечную массу п "=" Ф ⋅ в где Ф сила, совершающая работу и в - скорость, с которой движется точечная масса. Доказательство, которое мой инструктор предоставил в свое время, выглядит следующим образом:

Вт "=" ∫ Ф ⋅ д р (а) Вт "=" ∫ Ф ⋅ д р д т д т (б) д Вт д т "=" д д т ∫ Ф ⋅ д р д т д т (с) п "=" д д т ∫ Ф ⋅ в д т (Р) п "=" Ф ⋅ в

Есть несколько причин, по которым я нахожу это доказательство менее чем удовлетворительным:

  • Он не ссылается на пределы интегрирования
  • Кажется, не признает, что Ф может варьироваться в зависимости от т а также р
  • Если, кажется, не признает, что р варьируется в зависимости от т
  • шаг ( а ) может использовать возможно ошибочный аргумент «отмена дифференциала»

В попытке строго вывести ( р ) , я тщательно определил следующее:

  • Рассматриваемый интервал находится в пределах от т "=" а к т "=" б
  • р т ( т ) отображает скалярное время в трехмерный вектор положения точечной массы в это время
  • с т ( т ) отображает скалярное время в скалярное расстояние, пройденное точечной массой от т "=" а к т "=" т определяется с т ( т ) "=" ∫ а т | в т ( т ) | д т
  • Ф р ( т , р ( т ) ) отображает скалярное время и трехмерный вектор положения точечной массы, который соответствует этому времени, в трехмерный вектор рабочей силы
  • Ф с ( т , с ( т ) ) отображает скалярное время и скалярное расстояние, пройденное точечной массой, в трехмерный вектор рабочей силы
  • Ф с ( т , с ( т ) ) отображает скалярное время и скалярное расстояние, пройденное точечной массой, в скалярную величину рабочей силы, определяемой формулой Ф с ( т , с ( т ) ) "=" | Ф с ( т , с ( т ) ) |

Предположим более точное определение работы:

Вт т ( а , б ) "=" ∫ р т ( а ) р т ( б ) Ф р ( т , р ( т ) ) ⋅ д ( р т ( т ) )

Я сделал несколько попыток этого вывода, используя различные методы (которые я не буду подробно воспроизводить здесь), в том числе:

  • Интегральное правило Лейбница
  • Определитель Якоби
  • Изменить или переменные или ты -замещение

но безрезультатно.

Существуют ли какие-либо базовые предположения в высказывании п "=" Ф ⋅ в что позволит вывести уравнение?

Какой метод можно использовать для получения п "=" Ф ⋅ в ?[[

Каким образом, по вашему мнению, этот подход игнорирует силы, зависящие от времени? Как изменился бы базовый подход, если бы F действительно зависело от времени? Я не вижу, где, кроме как на том шаге, где вам не нравится использовать общий дифференциал.
@levitopher Может быть, «не выражает явного выражения» лучше, чем «игнорирует»
согласно ответу Хнчжоу ниже, единственное реальное предположение состоит в том, что каждый компонент р → является кусочно-обратимой функцией т . Тогда все это просто замена переменных из р к т .

Ответы (1)

Вот строгий вывод. Энергия м в 2 / 2 , а мощность - это скорость изменения энергии, поэтому

п "=" д д т м в ⋅ в 2 "=" м а ⋅ в "=" Ф ⋅ в .
Вот и все.

Теперь давайте посмотрим на ваш вывод. Первый шаг

Вт "=" ∫ Ф ( р ) ⋅ д р "=" ∫ Ф ( т ) ⋅ д р д т д т
действительно, так как это просто цепное правило. (То, что это выглядит как «отмена дифференциалов», не означает, что это неправильно! Отмена дифференциалов вполне допустима, если вы знаете, что делаете.) Теперь переименуйте т к т потому что имя переменной интегрирования не имеет значения. Следующий шаг
д Вт д т "=" д д т ∫ Ф ( т ) ⋅ д р д т д т
и это бессмысленно, потому что нет никакой зависимости от т различать.

Вместо этого мы должны явно написать границы интегрирования т я и т ф где Вт ( т я , т ф ) работа сделана со временем т я ко времени т ф . Затем

д Вт д т ф "=" д д т ф ∫ т я т ф Ф ( т ) ⋅ д р д т д т "=" Ф ( т ф ) ⋅ в ( т ф )
где мы использовали основную теорему исчисления. Теперь левая часть равна мощности в момент времени т ф , так
п ( т ф ) "=" Ф ( т ф ) ⋅ в ( т ф )
что мы и хотели.

Какие предположения я должен был бы сделать, чтобы строго доказать, что мощность равна силе, усеянной скоростью, P=F⋅vP=F⋅vP=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v