Возможный парадокс, связанный с ускорением, скоростью и работой

Комментарии, кажется, качественно отвечают на ваш вопрос. Давайте рассмотрим конкретный пример. Вероятно, есть более элегантный способ сделать это, но давайте просто применим грубую силу.

скажем

$$v_2(t)=bt$$ и $$v_1(t)=bt(2-t)$$ так что у нас есть$v_1(0)=v_2(0)=0$и$v_1(1)=v_2(1)=b$похоже на то, что у вас на картинке.

Беря производные по времени и применяя второй закон Ньютона, получаем

$$F_2(t)=mb$$ и $$F_1(t)=2mb(1-t)$$

Теперь общее определение работы в одном измерении дается выражением

$$W=\int F\ \text d x$$ но поскольку нам дана сила как функция времени, мы можем произвести замену переменных, чтобы получить $$W=\int Fv\ \text d t$$

Применяя это, мы получаем

$$W_2=\int_0^1mb^2t\ \text d t=\frac12mb^2$$ и $$W_1=\int_0^1(2mb(1-t))(bt(2-t))\ \text d t=2mb^2\int_0^1(t^3-3t^2+2t)\ \text d t=\frac12mb^2$$ так что мы видим, что$W_1=W_2$$^*$

Из графика видно, что средние ускорения одинаковы для обеих сил, поскольку они приводят к одинаковому изменению скорости за один и тот же интервал времени. Но также ясно, что Сила 1 приводит к большему смещению (область под графиком скорость-время). Следовательно, не должна ли Force 1 выполнять больше работы?

Вы правы, говоря, что первый объект будет иметь большее перемещение, но нужно смотреть и на силы, так как$W=\int F\ \text d x$.$F_2$постоянна на всем интервале, тогда как$F_1$начинается в$2F_1$и заканчивается в$0$. Совершаемая работа зависит не только от перемещения, но и от величины силы при этом перемещении.

---

$^*$Это результат чего-то более общего:

$$W=\int Fv\ \text d t=\int m\frac{\text d v}{\text d t}v\ \text d t=\int mv\ \text dv=\frac12m(v_f^2-v_0^2)=\Delta K$$

Таким образом, мы видим, что проделанная работа зависит только от начальной и конечной скоростей, независимо от того, сколько времени потребуется для выполнения этой прогрессии.

Проблема с тем, что вы делаете, заключается в том, что вы не учитываете ускорение как положительное, так и отрицательное, которое происходит в случае 1. Чтобы добраться до пика этой кривой, ее нужно было ускорить больше, чем линию, а затем ускорить другую. направление на его учет. Да, в обоих случаях среднее ускорение одинаково, но реальное ускорение, необходимое для движения на рисунке 1, наверняка будет больше.

Редактировать: Ах, рисунок был немного забавным, я вижу, к чему вы там клоните, кривая поднимается быстрее, а затем сужается. То же самое по-прежнему верно, и легко заблудиться в уравнениях и математике, так что давайте просто поговорим о реальности. Если бы два космических корабля (я знаю клише) двигались рядом друг с другом, как вы описали, их скорости были бы постоянными, если бы их что-то не ускоряло. Итак, если в начальный момент они движутся с одинаковой скоростью, а один из них ускорен, он будет продолжать двигаться быстрее, пока что-то не ускорит его в другом направлении. Это приводит к большему количеству работы. Этот график можно изменить, чтобы показать это, приняв систему отсчета одного наблюдателя. Это означает, что его скорость всегда равна нулю, поэтому линия 0 на самом деле будет просто линией, которую вы нарисовали для увеличения скорости.

Я бы хотел, чтобы ты тоже его сломал, так будет веселее!

Другой способ взглянуть на это. Вы правы, говоря, что работа, совершаемая каждым процессом, одинакова, поскольку оба процесса производят одинаковое изменение конечной кинетической энергии. Вы также правы, полагая, что сила, необходимая для перемещения частицы по криволинейному пути, больше, чем сила, необходимая для перемещения частицы по прямому пути. Так почему же криволинейная сила не выполняет больше работы? Это потому, что работа на самом деле определяется

$W=\int \overset {\rightarrow } {F}\cdot \, d\overset {\rightarrow } {x}$

Скалярное произведение элемента силы и положения означает, что в работу вносит вклад только сила, параллельная движению частицы. На криволинейной траектории также присутствует составляющая силы, перпендикулярная движению, которая вызывает изменение направления движения частицы. Эта дополнительная перпендикулярная составляющая силы не работает. Между прочим, вы можете доставить две частицы в одно и то же место за одинаковое время или с одинаковыми скоростями, но не за то и другое одновременно.