Какие различные приближения дают гравитоэлектромагнетизм и уравнения слабого поля Эйнштейна?

1. В этом ответе мы придерживаемся точки зрения, что уравнения GEM сами по себе не являются первым принципом, но могут быть обоснованы только через соответствующий предел (который необходимо определить) линеаризованного EFE .$^1$в 3+1D

   $$\begin{align} \kappa T^{\mu\nu}~\stackrel{\text{EFE}}{=}~& G^{\mu\nu}\cr ~=~&-\frac{1}{2}\left(\Box \bar{h}^{\mu\nu} + \eta^{\mu\nu} \partial_{\rho}\partial_{\sigma} \bar{h}^{\rho\sigma} - \partial^{\mu}\partial_{\rho} \bar{h}^{\rho\nu} - \partial^{\nu}\partial_{\rho} \bar{h}^{\rho\mu} \right) ,\cr \kappa~\equiv~&\frac{8\pi G}{c^4}, \end{align}\tag{1}$$ куда $$\begin{align}g_{\mu\nu}~&=~\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \cr \bar{h}_{\mu\nu}~:=~h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h \qquad&\Leftrightarrow\qquad h_{\mu\nu}~=~\bar{h}_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h}. \end{align} \tag{2}$$

2. Могут быть и другие подходы, о которых мы не знаем, но чтение Ref. 1, соответствующий предел GEM, по-видимому, имеет статическую природу E&M, тем самым, по-видимому, исключая гравитационные волны/излучение.

3. Конкретно предполагается, что это пыль :$^2$

   $$T^{\mu 0}~=~cj^{\mu}, \qquad j^{\mu}~=~\begin{bmatrix} c\rho \cr {\bf J} \end{bmatrix}, \qquad T^{ij}~=~{\cal O}(c^0). \tag{3}$$

4. Кажется, что единственный способ систематически реализовать доминирующий временной сектор/статический предел — это перейти к калибровке Лоренца.$^3$

   $$\partial_{\mu} \bar{h}^{\mu\nu} ~=~0. \tag{4}$$ Тогда линеаризованный ЭФЭ (1) упрощается до $$G^{\mu\nu}~=~-\frac{1}{2}\Box \bar{h}^{\mu\nu}~=~\kappa T^{\mu\nu}. \tag{5}$$

5. В нашем соглашении анзац GEM читается$^5$

   $$\begin{align} A^{\mu}~=~&\begin{bmatrix} \phi/c \cr {\bf A} \end{bmatrix}, \qquad\bar{h}^{ij}~=~{\cal O}(c^{-4}),\cr -\frac{1}{4}\bar{h}^{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} \phi/c^2 & {\bf A}^T /c\cr {\bf A}/c & {\cal O}(c^{-4})\end{bmatrix}_{4\times 4}\cr ~\Updownarrow~& \cr -h^{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} 2\phi/c^2 & 4{\bf A}^T/c \cr 4{\bf A}/c & (2\phi/c^2){\bf 1}_{3\times 3}\end{bmatrix}_{4\times 4} \cr ~\Updownarrow~& \cr g_{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} -1-2\phi/c^2 & 4{\bf A}^T/c \cr 4{\bf A}/c & (1-2\phi/c^2){\bf 1}_{3\times 3}\end{bmatrix}_{4\times 4}. \end{align}\tag{6}$$

6. Гравитационная калибровка Лоренца (4) соответствует условию калибровки Лоренца

   $$c^{-2}\partial_t\phi + \nabla\cdot {\bf A}~\equiv~ \partial_{\mu}A^{\mu}~=~0 \tag{7}$$ и «электростатический предел»$^4$ $$\partial_t {\bf A}~=~{\cal O}(c^{-2}).\tag{8}$$

7. Далее определите напряженность поля

   $$\begin{align} F_{\mu\nu}~:=~&\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}, \cr -{\bf E}~:=~&{\bf \nabla} \phi+\partial_t{\bf A}, \cr {\bf B}~:=~&{\bf \nabla}\times {\bf A}.\end{align} \tag{9}$$ Тогда временно-временной и пространственно-временной секторы линеаризованного ЭФЭ (1) становятся гравитационными уравнениями Максвелла с источниками $$\partial_{\mu} F^{\mu\nu}~=~\frac{4\pi G}{c}j^{\mu}. \tag{10}$$ Заметим, что гравитационное (электрическое) поле${\bf E}$должны быть направлены внутрь (наружу) для положительной массы (заряда) соответственно. По этой причине в этом ответе/ Википедии уравнения GEM (10) и уравнения Максвелла имеют противоположные$^5$знаки.

8. Интересно, что гравитационное калибровочное преобразование вида

   $$\begin{align}\delta h_{\mu\nu}~=~&\partial_{\mu}\varepsilon_{\nu}+(\mu\leftrightarrow\nu), \cr \varepsilon_{\nu}~:=~&c^{-1}\delta^0_{\nu}~\varepsilon, \end{align}\tag{11}$$ приводит к $$\delta h~=~-2c^{-1}\partial_0\varepsilon \tag{12}$$ и тем самым к обычным калибровочным преобразованиям $$\delta A_{\mu}~=~\partial_{\mu}\varepsilon.\tag{13}$$ Такие калибровочные преобразования (13) сохраняют уравнения GEM. (10) но нарушают анзац GEM$\bar{h}^{ij}={\cal O}(c^{-4})$пока не $$\partial_t\varepsilon~=~{\cal O}(c^{-2}).\tag{14}$$ В заключение, калибровочное условие Лоренца (7) не является необходимым, но мы, кажется, застряли с «электростатическим пределом» (8).

Использованная литература:

1. Б. Машхун, Гравитоэлектромагнетизм: краткий обзор, arXiv:gr-qc/0311030 .

--

$^1$В этом ответе мы используем соглашение о знаках Минковского.$(-,+,+,+)$и работать в системе СИ. Пространственные индексы$i,j,\ldots \in\{1,2,3\}$латинские буквы, а индексы пространства-времени$\mu,\nu,\ldots \in\{0,1,2,3\}$являются греческими буквами.

$^2$Предупреждение:$j^{\mu}$ток (3) не преобразуется ковариантно при лоренцевских бустах. Неинерционные системы отсчета, о которых упоминает Википедия , предположительно связаны с тем, что$g_{\mu\nu}$-метрика (2) неминковская.

$^3$Калибровка Лоренца (4) — это линеаризованная /гармоническая калибровка де Дондера .

$^4$Мы нетрадиционно называем эк. (8) «электростатический предел», поскольку срок$\partial_t{\bf A}$входит в определение (9)${\bf E}$.

$^5$Предупреждение: в Машхуне (ссылка 1) уравнения GEM (10) и уравнения Максвелла имеют одинаковый знак. Для сравнения, в этом ответе Phys.SE