Какое многообразие представляет собой пространство-время?

Ваша интуиция, которая

уравнения Эйнштейна - это уравнения для метрического тензора, а не для многообразия

в основном на правильном пути, но детали ошибочны. Я думаю, что эту основную часть интуиции лучше всего сформулировать так: уравнения Эйнштейна — это локальные уравнения для геометрии многообразия. То есть они говорят вам, что каким бы многообразием ни было ваше пространство-время, его геометрия должна подчиняться этому конкретному ограничению в каждом конкретном случае в многообразии.

Конечно, эти локальные ограничения очень сильны, и они сильно ограничивают возможности многообразия; это особенно верно, когда вы указываете, как выглядит один участок пространства-времени, и начинаете продолжать геометрию оттуда и далее.

Однако в качестве локальных ограничений они не оказывают определяющего влияния на топологию; уравнения поля Эйнштейна совместимы как с мягкими, так и с мягкими многообразиями.$\mathbb R^4$или более интересные, которые могут быть многосвязными и так далее. Простейшим примером, вероятно, является трихотомия открытое/плоское/закрытое в топологии пространства-времени : если вы предполагаете, что Вселенная однородна и изотропна, то вы получаете довольно ограниченную локальную динамику для геометрии с тремя возможными типами кривизны (отрицательная, нулевая, или положительные), которые имеют прямое влияние на топологию пространства-времени.

Таким образом, цель ОТО состоит в том, чтобы найти пространство-время, геометрия которого локально подчиняется уравнениям поля, а другие свойства — включая глобальную топологию, а также тип и распределение материи и т. д. — согласуются с нашими ожиданиями для физических систем. (Мы уже делаем это, например, когда исключаем пространство-время с экзотической материей .)

Однако в общем случае уравнения поля Эйнштейна являются локальными, и это позволяет говорить о метрике даже тогда, когда нам еще предстоит определить форму области определения метрики: мы просто смотрим на метрику по одному координатному участку за раз и там домен прекрасно определен. Однако, как только у нас есть патчи, нам нужно сшить их вместе, чтобы составить целое многообразие, и проверить, собираются ли они вместе, чтобы создать единое целое, и в книгах нет ничего, что говорит, что это будет не так сложно. как оригинальные локальные решения.

Общая история

Вот попытка формализовать, как физики строят пространственно-временные многообразия.

Позволять$N$быть одним из

• $\mathbb R^n$
• Некоторое измерение$n$многообразие продуктов$S^1$и$\mathbb R$(соответствует периодическим решениям).

Выберите один такой$N$. Сейчас

1. Возьмем тензор напряжений$T$определенный на некотором открытом подмножестве$U \subset N$и некоторые граничные условия (например, спад в окрестности границы$U$). Рассмотрим уравнения Эйнштейна на$U$.

2. Позволять$V$обозначают максимальную область, на которой гладкое решение$g$существует. Вызов$V$многообразие «пространство-время».

Таким образом, вы должны думать об уравнениях Эйнштейна как об отношении между тензорными полями на открытом подмножестве простого многообразия (нашего$U$выше):

• $U$корректно определяется как гладкое многообразие, на котором можно рассматривать гладкие тензорные поля.
• "Пространство-время"$V \subset U$является подмногообразием, которое можно оснастить римановой структурой, заданной уравнениями Эйнштейна.

В частности, топология$V$не имеет отношения к определению уравнений Эйнштейна.

Просто чтобы забить это до смерти, вот еще один способ выразить это

• Уравнение Эйнштейна представляет собой уравнение между гладкими тензорными полями. Вам не нужна риманова структура на вашем многообразии, чтобы уравнения Эйнштейна были корректно определены. Все, что вам нужно, это гладкая структура.
• Заметьте, как только вы решите уравнения Эйнштейна, вы сможете свободно заниматься римановой геометрией.$V$, на котором у вас есть четко определенная риманова структура.

Примеры

Специальная теория относительности

Вы упомянули случай специальной теории относительности. Было бы поучительно посмотреть, как эта конструкция работает в этом. Брать

• $N \equiv \mathbb R^n$
• $U = \mathbb R^n$
• Позволять$T \equiv 0 \in \otimes^2T^*M$— нулевое тензорное поле.

Уравнения Эйнштейна дают$\eta$, которая хорошо определена на всех$\mathbb R$. Итак, в этом случае мы имеем$V = U =N$. Мы наделяем$V$со структурой Римана, и сделать геометрию на$(V, \eta)$.

Шварцшильд

В случае Шварцшильда хорошо известно, что решение в некоторых местах расходится, поэтому решение уравнения Эйнштейна$g_{Schwarzschild}$корректно определен только на строгом подмножестве$V \subset U$.$(V, g_{Schwarzschild})$является корректно определенным римановым многообразием, а$g_{Schwarzschild}$не дает четко определенной римановой структуры$U$. Однако уравнения Эйнштейна все еще хорошо определены на$U$, что и позволило вам решить их в первую очередь.