Сечение расслоения O(1,n)O(1,n)\text{O}(1,n) по сравнению с сечением расслоения Грассмана

Если пучок фреймов имеет глобальную секцию$\{\theta^j\}_{j=0}^n$, то вы получаете лоренцеву метрику

$$g=-\theta^0\otimes\theta^0+\sum_{i=1}^n\theta^i\otimes\theta^i.$$ Однако это перебор. Вы можете просто выбрать $\theta^0$, риманова метрика $h$на $\mathscr M$, и разреши $X$быть двойником $\theta^0$в отношении $h$. Тогда обычная процедура дает лоренцеву метрику $$g(Y,Z)=h(Y,Z)-2\frac{h(X,Y)h(X,Z)}{h(X,X)},\quad Y,Z\in\Gamma(T\mathscr M).$$ Но условие, что $\mathscr M$расслоение фреймов допускает глобальную секцию, подразумевает, что оно параллелизуемо, то есть $T\mathscr M\approx \mathscr M\times\Bbb R^n$. Для $\mathscr M$компактный, это означает $\chi(\mathscr M)=0$по теореме Хопфа. Таким образом, вы не получаете никакой новой информации, рассматривая проблему в этом свете, потому что это гораздо более серьезное условие.