Вставка MTW 9.1 Касательные векторы и касательное пространство безметрического и безгеодезического пространства-времени. Какие необходимые свойства остаются?

Не намереваясь нарушать правила, я хочу задать конкретные вопросы, связанные с этим общим вопросом. По этой причине я попытаюсь указать, какой общий ответ я ищу. Наиболее вероятно, что лучшим ответом на текущий вопрос будет ссылка на обсуждение чисто внутренних свойств дифференцируемого многообразия или что-то подобное.

Это вставка 9.1 от Misner, Thorne and Wheeler's Gravitation.

введите описание изображения здесь

Обсуждение предполагает пространство-время без метрик и без геодезических. Авторы никогда не объясняют, какими свойствами обладает это пространство-время. Например, что значит умножить смещение п как λ варьируется от 0 к 1 / Н ? Без понятия расстояния, что делает λ даже значит?

Какие свойства мы должны приписать этому пространству-времени? Должны ли мы предположить, что локально оно аппроксимирует пространство-время специальной теории относительности? Можем ли мы говорить об открытых балах, посвященных какому-либо событию? Можем ли мы говорить о том, что окрестность события становится сколь угодно малой?

Авторы действительно говорят о возможности более многомерного «плоского» «вмещающего пространства», но называют это посторонним.

кажется, что это просто эвристическая идея, чтобы мотивировать определение касательного вектора (хотя я не поклонник такой эвристики; я бы предпочел сначала увидеть точное определение, а затем посмотреть на мотивацию). Кроме того, я не совсем уверен, что вас больше всего беспокоит. В любом случае, концепции дифференцируемых многообразий, «кривых» в многообразии (т.е. просто гладкое отображение интервала в многообразие) и касательное пространство к дифференцируемому многообразию — все это стандартные темы, так что еще раз, я не совсем уверен что вам нужно.
Я вполне убежден, что имеется в виду нечто большее, чем просто введение касательных пространств и т. д. Во многих местах книги они демонстрируют большой энтузиазм по поводу того, что можно сделать без метрики. В главе 9 понятие касательной векторной стрелки в касательном пространстве становится полезной фикцией. Остается только возможность дифференцировать скалярные функции по параметру. Книги Лоринга Ту и Фрэнка Уорнера, похоже, разделяют точку зрения MTW. Но они являются огромными проблемами. CH Эдвардс заметно бормочет в этой области. Альфред Грей почти сразу вводит длину дуги.

Ответы (2)

Вам не нужно расстояние. Рассматриваются кривые на многообразии. Кривая на многообразии ( М ) — это отображение вещественных чисел в многообразие, т. е. отображение, которое берет действительное число и назначает точку в многообразии:

п ( λ ) : р → М .
λ это просто параметр кривой. Тогда касательный вектор считается равным
г п г λ "=" лим Н → ∞ п ( 1 Н ) − п ( 0 ) 1 Н .

Проблема в том, что вы вычитаете две точки, а затем делите на число, и неясно, что именно это означает для общего многообразия. Для риманова многообразия вы можете представить его вложенным в многомерное плоское многообразие, где операция имеет смысл. Я думаю, что это также является источником названия «касательное пространство», потому что в пределе векторы в этом многомерном плоском пространстве действительно становятся касательными к рассматриваемому (под) многообразию.

И если я правильно помню, такое вложение существует всегда. Но математически это немного неудовлетворительное определение, поскольку оно требует начинать с пространства более высокого измерения, в котором мы не заинтересованы, определять наши касательные векторы, а затем отбрасывать их. Этот подход также требует, чтобы многообразие было римановым, но вы можете без проблем определить векторы на любом многообразии.

С другой стороны, такой подход проще для нашей интуиции, потому что тогда мы можем рисовать картинки, подобные той, которую вы разместили. MTW предлагает более интуитивное объяснение, но я думаю, что было бы неплохо дополнить его более математическим подходом к дифференциальной геометрии.

Мой вопрос очень трудно задать, так как есть ряд вопросов. Один из них: что подразумевается под кривой? math.stackexchange.com/q/3431851/342834 Тогда что подразумевается под параметризованной кривой? Если мы начнем говорить о дифференцируемых многообразиях, то столкнемся с такими вещами, как теоремы об обратном и неявном отображении.
@StevenThomasHatton Говорили ли мы о чем-то еще, кроме дифференцируемых многообразий? Кривая — это сокращение от параметризованной кривой. В дифференциальной геометрии все кривые параметризованы. Кроме того, определение, с которым я знаком, требует, чтобы кривые были гладкими ... Я не вижу проблемы с обратными и неявными теоремами отображения в определении кривой, а также не вижу, как это относится к вашему исходному вопросу.
Теорема о неявной функции используется для определения дифференцируемого многообразия как набора решений для системы ограничений. Каждое независимое ограничение удаляет одно измерение (степень свободы) из числа измерений в пространстве вложения. В известных мне разработках используются различные нормы, которые используются для количественной оценки перемещений. Для регулярной параметризованной открытой кривой есть как минимум способ говорить об относительной длине дуги. Точка с большим значением параметра имеет большую длину дуги от точки, где параметр равен 0. Это продолжается и продолжается.
Я принял ответ, но идея невстроенного дифференцируемого (неплоского) многообразия все еще болит у меня в голове. Например, топология Милнора с дифференцируемой точки зрения требует локальной параметризации гладкого m-многообразия, вложенного в р к быть отображением из открытого подмножества р м в р к , «так что производная определена». В случае физического пространства-времени у нас есть встроенные локальные измерительные устройства, называемые измерительными стержнями и часами.
Теперь я понимаю, что одна из причин, по которой это сбивало меня с толку, заключается в том, что самые общие и специализированные разработки геометрии начинаются с некоторого понятия «линейки». Из самой общей проективной геометрии; к аффинной геометрии; к метрической геометрии. Но МТЗ все выкидывает. Раньше, когда я пытался разобраться в этом, я полагал, что в моем распоряжении есть бесконечно малая измерительная линейка и наручные часы.
@StevenThomasHatton Извините, что не отвечаю, но я не совсем понимаю, что вас смущает. Я также никогда не сталкивался с определением многообразия через теорему о неявной функции. Обычно дифференцируемое многообразие определяется как топологическое пространство, наделенное атласом с непротиворечивостью на перекрытиях. Атлас представляет собой набор карт координат ( ю я ), которые покрывают все многообразие, причем отображение координат является гомеоморфизмом многообразия в р н а согласованность по перекрытиям задается требовательными картами ю я − 1 ∘ ю Дж : р → р быть k-кратно дифференцируемым
@StevenThomasHatton Я в основном знаком только с MTW и учебником Мариан Феко amazon.com/Differential-Geometry-Lie-Groups-Physicists/dp/… . Я нашел более позднюю книгу удивительно ясной, но я не математик, поэтому, возможно, она не такая строгая, как вам хотелось бы. Я рекомендую вам проверить это.
Хорошо. Да, я знаком с таким подходом. Я думал о таких разработках, как «Усовершенствованное исчисление нескольких переменных» Ч. Эдвардса. Дирак также предполагал аффинное пространство вложения. Тем не менее, концепция диффеоморфизма, по-видимому, требует, чтобы кривые становились прямыми по мере того, как окрестность вычисления становится исчезающе малой. Используя обратимую дифференцируемую карту координат, мы всегда можем наложить пифагорейство области. Это может быть не очень полезным средством измерения, но оно доступно.

Приняв ответ, я пришел к выводу, что «без метрик» действительно должен быть «независим от метрик». Например, в развитии аффинного пространства Сётэном он вводит «измерительные векторы» в каждой допустимой системе координат, которые по компонентам равны стандартному базису в р н (т. е. столбцы или строки единичной матрицы.) Это позволяет нам рассматривать аффинное пространство в любой допустимой системе координат. С как евклидово относительно этой системы координат. В любой относительно косой системе координат С ¯ в С измерительные векторы не будут иметь компонентов стандартного базиса. Но С ¯ будет иметь свой собственный стандартный базис для измерения векторов, столь же законный (в аффинной геометрии), как и любой другой.

Так что проблема не в отсутствии метрики. Это бесконечное количество метрик, которые не согласуются друг с другом в отношении того, что определяет расстояние и объем.

Вставка MTW 9.1 Касательные векторы и касательное пространство безметрического и безгеодезического пространства-времени. Какие необходимые свойства остаются?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v