Какое расстояние считается «близким» для 9-го ближайшего соседа галактики?

Если бы галактики были распределены случайным образом (пространственный процесс Пуассона), то вероятность наличия$N$галактики внутри радиуса$r$сфера$\Pr[N]=\lambda^N e^{-\lambda} / N!$куда$\lambda = (4\pi /3)\rho r^3$. Таким образом, кумулятивная функция распределения расстояния до$N$сосед

$$\Pr[R_N<r]=1-e^{-\alpha r^3}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\alpha^n r^{3n}}{n!}$$ ( $\alpha=4\pi\rho/3$для краткости). Взятие производной для получения PDF дает $$f(r) = e^{-\alpha r^3}\left [(3\alpha r^2) + 3\sum_{n=1}^{N-2} \frac{\alpha^n r^{3n-1}}{(n-1)!}\right ].$$ Хотя можно попытаться взять производную от этого, чтобы получить моду (или установить CDF на 1/2, чтобы найти медиану), это становится алгебраически беспорядочным, поэтому численное решение, вероятно, будет лучшим. Я понимаю, что мода 9-го соседа в 2,44 раза больше моды первого соседа.

Проблема здесь, конечно, в том, что настоящие галактики сильно сгущены. Это вызовет (потенциально большое) сокращение срединного расстояния.

На самом деле, у большинства галактик есть галактики-спутники, поэтому, если в обзоре нет определения, исключающего их, ответом будет то, что 9-й ближайший сосед находится очень близко (в случае Млечного Пути расстояние будет около 30 кпк). Так что любой ответ будет зависеть от критериев включения в этот конкретный каталог.