Подробнее о замкнутой форме простого маятника

Простой маятник - это тот, который использует приближение малого угла. Использование безмассового стержня не обязательно, так как любой момент инерции можно выразить как$mr^2$для некоторых$r$. Итак, я проведу быстрый вывод уравнений движения и сравню точное решение приближенного (локально линеаризованного) уравнения, а также расскажу, как получить эллиптический интеграл для реального уравнения.

Кроме того, я полагаю, что вы, возможно, сделали ошибку, переходя от уравнения второго порядка к уравнению первого порядка, но я не вижу никакой работы, поэтому не могу точно сказать. Конец похож на тот, что есть в Википедии, но он не основан на линеаризованном уравнении, так что это было бы весьма неожиданно. Далее, вы говорите, что уравнение для неопределенного$\dot{\theta}_0$но квадратный корень подразумевает, что$cos\theta\geq cos\theta_0$поэтому, если я отправлю маятник с высокой скоростью от горизонтали, его ориентация станет сложной. Что-то кажется странным.

---

Глядя на уравнение для незатухающего маятника - безмассовый стержень, закрепленный вокруг точки, другой конец прикреплен к точечной массе - где$\theta$- угол от вертикали, мы можем написать лагранжиан, а затем уравнения движения.

$$L = ml^2{\dot{\theta}}^2 - mgl (1-cos\theta)\\ \frac{d}{dt}\bigg[\frac{\delta L}{\delta \dot{\theta}} \bigg] - \frac{\delta L}{\delta \theta}=0 \\ ml^2\ddot{\theta} + mgl~sin\theta = 0 \\ \ddot{\theta} + \frac{g}{l}~sin\theta = 0$$

Отсюда мы можем сделать приближение,$sin\theta\approx\theta$что для малого$\theta$что дает уравнение, которое у вас есть, где$l{\omega_0}^2=g$. Это линейное уравнение второго порядка, члена первого порядка нет, возможные решения$\theta=0$или$\theta=exp(rt)$и если вы подставите второе, вы обнаружите, что$r^2+{\omega_0}^2=0$так$r$является чисто мнимым числом, а решения представляют собой синусы и косинусы частоты$\omega_0$. Этот факт не зависит от начального условия. Важно отметить, что период является постоянным, если вы используете это уравнение, это линейная переменная.

---

Интереснее разгадывать оригинал, перепишу с небольшой модификацией, умножив на$\dot{\theta}$,

$$\dot{\theta}\ddot{\theta} + \dot{\theta}\frac{g}{l}sin\theta = 0$$

Отсюда я просто сделаю это, пусть C будет константой интегрирования.

$$\frac{d}{dt} \bigg[\dot{\theta}^2/2 - \frac{g}{l}cos\theta\bigg] = 0 \\ \dot{\theta}^2/2 - \frac{g}{l}cos\theta = C \\ \frac{d\theta}{dt} = \sqrt{ 2C+2\frac{\strut g}{l}cos\theta} \\ \int d\theta\bigg/\sqrt{ 2C+2\frac{\strut g}{l}cos\theta} = \int{dt}$$ Последняя часть жесткая. Но единственное, что я могу сказать, это то, что $C$вероятно, пропорциональна полной энергии системы, поскольку она сохраняется и имеет $s^{-2}$в этом.