Каков релятивистский расчет времени в пути до Проксимы Центавра?

Для выполнения такого расчета мы будем использовать плоское пространство-время Минковского специальной теории относительности. Предполагая, что путешественник не подходит достаточно близко к какому-либо массивному телу во время путешествия.

Теперь, чтобы выполнить этот расчет релятивистски (при условии, что вы хотите включить эффекты изменения фактора Лоренца и связанного с ним ускорения), мы должны сначала получить/вывести выражение того, как трансформируется фактор Лоренца движущегося объекта. Это позволит получить требуемое релятивистское выражение для собственного ускорения объектов.

Итак, давайте рассмотрим две инерциальные системы отсчета S («сидячий наблюдатель») и S’ (путешественник) в «стандартной конфигурации» (то есть в предположении, что S’ движется в положительном направлении x со скоростью$v$). Позволять$\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})^{\mathsf{T}}$— мгновенный вектор скорости в S путешественника. Теперь мы хотим найти скорость и$\mathbf{u}' = (u'_{1}, u'_{2}, u'_{3})^{\mathsf{T}}$путешественника в кадре S'. Мы можем определить

$$\mathbf{u} = (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t, \mathrm{d}y/\mathrm{d}t, \mathrm{d}z/\mathrm{d}t))^{\mathsf{T}},$$ $$\mathbf{u}' = (\mathrm{d}x'/\mathrm{d}t', \mathrm{d}y'/\mathrm{d}t', \mathrm{d}z'/\mathrm{d}t'))^{\mathsf{T}}.$$

Исходя из этого определения и того факта, что две системы отсчета находятся в «стандартной конфигурации», мы можем сразу же записать известные формулы преобразования скорости (без вывода):

$$u'_{1} = \frac{u_{1} - v}{1 - u_{1}v/c^{2}}, \; u'_{2} = \frac{u_{2}}{\gamma(1 - u_{1}v/c^{2})}, \; u'_{3} = \frac{u_{3}}{\gamma(1 - u_{1}v/c^{2})}.$$

Никаких предположений об равномерности здесь не делалось, и эти формулы в равной степени применимы к мгновенной скорости при неравномерном движении.

Давайте теперь напишем$u = (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2})^{\frac{1}{2}}$и$u' = ({u'}_{1}^{2} + {u'}_{2}^{2} + {u'}_{3}^{2})^{\frac{1}{2}}$для величин соответствующих скоростей в S и S'. Теперь давайте выберем сигнатуру нашего метрического тензора$g_{\mu \nu}$нашего пространства-времени Минковского, так что для наших двух инерциальных систем отсчета мы можем написать

$$c^{2}\mathrm{d}t'^{2} - \mathrm{d}x'^{2} - \mathrm{d}y'^{2} - \mathrm{d}z'^{2} = c^{2}\mathrm{d}t^{2} - \mathrm{d}x^{2} - \mathrm{d}y^{2} - \mathrm{d}z^{2}.\;(\mathrm{A})$$

В нашей «стандартной конфигурации» преобразования Лоренца для наших координат задаются формулой

$$\mathrm{d}x' = \gamma(\mathrm{d}x - v\mathrm{d}t), \; \mathrm{d}y' = \mathrm{d}y, \; \mathrm{d}z' = \mathrm{d}z, \; \mathrm{d}t' = \gamma(\mathrm{d}t - v\mathrm{d}x/c^{2}).\;(\mathrm{B})$$

Теперь, учитывая$\mathrm{d}t'^{2}$и$\mathrm{d}t^{2}$образуют левую и правую стороны (A) соответственно и, используя (B), мы можем написать

$$\mathrm{d}t^{2} (c^{2} - u^{2}) = \mathrm{d}t'^{2}(c^{2} - u'^{2}) = \mathrm{d}t^{2}\gamma^{2}(v)(1 - u_{1}v/c^{2})^{2}(c^{2} - u'^{2}).\;(\mathrm{C})$$

Теперь, отмена$\mathrm{d}t^{2}$из вышеизложенного теперь мы можем получить следующее преобразование для$u^{2}$, квадрат величины скорости нашего путешественника:

$$c^{2} - u'^{2} = \frac{c^{2}(c^{2} - u^{2})(c^{2} - v^{2})}{(c^{2} - u_{1}v)^{2}}.$$

Обратите внимание здесь$u_{1}v = \mathbf{u}.\mathbf{v}$так что RHS на самом деле симметрична в$\mathbf{u}$и$\mathbf{v}$- это означает, что это верно для любых двух подсознательных 3-скоростей. Теперь, переписав приведенные выше термины$\gamma(u)$и$\gamma(u')$, приложив некоторые усилия, получаем следующие полезные соотношения

$$\frac{\gamma(u')}{\gamma(u)} = \gamma(v)(1 - \frac{u_{1}v}{c^{2}})$$

Это выражение показывает, как преобразуется фактор Лоренца движущегося объекта (для +ive$v$). Теперь мы можем использовать это, чтобы получить выражение для нашего собственного ускорения.

Теперь, используя функцию быстроты, мы можем упростить следующий вывод (в разы!). Функция быстроты$\phi(u)$можно записать как

$$\phi(u) = \tanh^{-1} (\frac{u}{c}),$$

что позволяет переписать формулу сложения скоростей в удивительно простой форме

$$\phi(u) = \phi(v) + \phi(u'),$$

теперь дифференцируем по (WRT)$t$урожаи

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi(u) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}\phi(u')\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}.\;(\mathrm{D})$$

Что можно записать как

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi(u) = \frac{1}{c}\gamma^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t},$$

и из (C) выше мы можем написать$\mathrm{d}t'/\mathrm{d}t = \gamma(u')/\gamma(u)$. Подставив это и приведенное выше уравнение (и его версию со штрихом) в приведенное выше выражение для$\phi(u)$мы можем написать желаемую формулу преобразования ускорения (надеясь, что я не сделал ошибок! :])

$$\gamma^{3}(u')\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}t'} = \gamma^{3}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}.$$

Теперь, если мы определим собственное ускорение$\alpha$(скажем), так как то, что измеряется в системе отдыха наших путешественников S', мы находим при установке$u' = 0$и$\mathrm{d}u'/\mathrm{d}t' = \alpha$, используя наше уравнение преобразования ускорения, мы получаем

$$\alpha = \gamma^{3}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\gamma(u)u].$$

Это правильное ускорение$\alpha$это именно тот толчок, который мы чувствуем в ускоряющейся ракете. Теперь, наконец, в интересующем нас случае прямолинейное движение с постоянным собственным ускорением$\alpha$. Мы можем проинтегрировать приведенное выше уравнение один раз, выбрав$t = 0$когда$u = 0$

$$\alpha t = \gamma(u) u. \; (\mathrm{E})$$

Возведите это в квадрат, решите для$u$и снова проинтегрировав с теми же начальными условиями, получим следующее уравнение движения

$$x^{2} - c^{2}t^{2} = c^{4}/\alpha^{2}.$$

поэтому движение с постоянным собственным ускорением называется гиперболическим!

Теперь мы можем решить ваш вопрос. Вполне вероятно, что при 20 g на половине расстояния мы превысим скорость света. Давайте возьмем версию полученного релятивистского уравнения движения выше для системы S. Теперь, установив расстояние в 2,125 световых года с ускорением 20g, мы можем определить время, необходимое для достижения средней точки (используя релятивистское уравнение движения выше), от системы отсчета домашних наблюдателей, которая оказывается равной 1531 дню (или 4,19 года). Это движение будет симметричным, так что время всего пути в системе S (с учетом полного релятивистского движения!) составит 3062 дня (или 8,39 года).

Теперь, что касается времени, измеряемого в кадре S'... Я позволю вам это вычислить! Это не так просто, как использовать преобразование Лоренца для общего времени, затраченного в этом случае; как мы видели, фактор Лоренца будет изменяться при ускорении тела.

Что касается максимальной скорости, я также оставлю это в качестве упражнения - я намеренно пропустил шаг, на котором мы выводим уравнение для$u$. Вы можете получить$u$из (E), и соответственно определите максимальную скорость.

Вы также заметите, что в ньютоновском расчете время, необходимое для достижения середины пути, составляет 166 дней. Это потому, что скорость света достигается за 17,69 дня на расстоянии 212 световых минут; давая скорость на полпути колоссальные 9,38c! Релятивистский расчет отражает предел c в расчете.

Я надеюсь, вам понравится читать это так же, как мне, просматривая его. Вы можете сказать, что я не работаю!

Всего наилучшего.