Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Question

Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Хорхе Лавин

Я хочу показать, что двумерное волновое уравнение инвариантно относительно буста, поэтому отправной точкой является волновое уравнение

\frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} "=" \frac{1}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}}

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}$

и преобразование Лоренца:

т^{'} "=" γ (т - \frac{в}{с^{2}} Икс) {Икс}^{'} "=" γ (Икс - в т)

$t'=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x) \\ x'=\gamma(x-vt)$

Мой вопрос, должен ли я написать $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}$ как производная по $x'$ и $t'$ а потом заменить?

Проделанная работа

\frac{\partial}{\partial т} "=" \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} \frac{\partial {Икс}^{'}}{\partial т} + \frac{\partial}{\partial т^{'}} \frac{\partial т^{'}}{\partial т} "=" - γ в \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} + γ \frac{\partial}{\partial т^{'}}

$\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t}=-\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}+\gamma\frac{\partial}{\partial t'}$

\frac{\partial^{2}}{\partial т^{2}} "=" \frac{\partial}{\partial т} (\frac{\partial}{\partial т}) "=" \frac{\partial}{\partial т} (- γ в \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} + γ \frac{\partial}{\partial т^{'}}) "=" "=" - γ в \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} (- γ в \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} + γ \frac{\partial}{\partial т^{'}}) + γ \frac{\partial}{\partial т^{'}} (- γ в \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} + γ \frac{\partial}{\partial т^{'}}) "=" "=" γ^{2} в^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{' 2}} - 2 γ^{2} в \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}} + γ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial т^{' 2}}

$\frac{\partial^2}{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial t} \right)=\frac{\partial}{\partial t}\left( -\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}+\gamma \frac{\partial}{\partial t'}\right)= \\ =-\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}\left( -\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}+\gamma \frac{\partial}{\partial t'}\right)+\gamma\frac{\partial}{\partial t'}\left( -\gamma v\frac{\partial}{\partial x'}+\gamma \frac{\partial}{\partial t'}\right)=\\ = \gamma^2v^2\frac{\partial^2}{\partial x'^2}-2\gamma^2v\frac{\partial ^2}{\partial x'\partial t'}+\gamma^2\frac{\partial^2 }{\partial t'^2}$

-Редактировать-

То же самое относится к $x$

\frac{\partial}{\partial Икс} "=" \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} \frac{\partial {Икс}^{'}}{\partial Икс} + \frac{\partial}{\partial т^{'}} \frac{\partial т^{'}}{\partial Икс} "=" γ \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} - \frac{γ в}{с^{2}} \frac{\partial}{\partial т^{'}}

$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial x}=\gamma\frac{\partial}{\partial x'}-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'}$

\frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} "=" \frac{\partial}{\partial Икс} (\frac{\partial}{\partial Икс}) "=" \frac{\partial}{\partial Икс} (γ \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} - \frac{γ в}{с^{2}} \frac{\partial}{\partial т^{'}}) "=" "=" γ \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} (γ \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} - \frac{γ в}{с^{2}} \frac{\partial}{\partial т^{'}}) - \frac{γ в}{с^{2}} \frac{\partial}{\partial т^{'}} (γ \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} - \frac{γ в}{с^{2}} \frac{\partial}{\partial т^{'}}) "=" "=" γ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{' 2}} - 2 \frac{γ^{2} в}{с^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}} + \frac{γ^{2} в^{2}}{с^{4}} \frac{\partial^{2}}{\partial т^{' 2}}

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial }{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\gamma\frac{\partial}{\partial x'}-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'} \right)= \\ = \gamma\frac{\partial}{\partial x'}\left(\gamma\frac{\partial}{\partial x'}-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'} \right)-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'}\left(\gamma\frac{\partial}{\partial x'}-\frac{\gamma v}{c^2}\frac{\partial }{\partial t'} \right)=\\= \gamma^2\frac{\partial^2 }{\partial x'^2}-2\frac{\gamma^2v}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial x'\partial t' }+\frac{\gamma^2v^2}{c^4}\frac{\partial^2}{\partial t'^2}$

Отредактируйте 2 с подсказками, данными nervxxx

Волновое уравнение становится

\frac{γ^{2} в^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} - \frac{2 γ^{2} в}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}} + \frac{γ^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} "=" γ^{2} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} - 2 \frac{γ^{2} в}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}} + \frac{γ^{2} в^{2}}{с^{4}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}}

$\frac{\gamma^2v^2}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}-\frac{2\gamma^2v}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'\partial t'}+\frac{\gamma^2}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}=\gamma^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}-2\frac{\gamma^2v}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'\partial t' }+\frac{\gamma^2v^2}{c^4}\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}$

\frac{γ^{2} в^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} + \frac{γ^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} "=" γ^{2} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} + \frac{γ^{2} в^{2}}{с^{4}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}}

$\frac{\gamma^2 v^2}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'^2}+\frac{\gamma^2}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}=\gamma^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}+\frac{\gamma^2v^2}{c^4}\frac{\partial ^2\phi}{\partial t'^2}$

Но я все еще не понимаю ... так как все $\gamma^2$ отмена

Окончательное редактирование. сделанный!

\frac{γ^{2} в^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} - γ^{2} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} "=" \frac{γ^{2} в^{2}}{с^{4}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} - \frac{γ^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}}

$\frac{\gamma^2 v^2}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'^2}-\gamma^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}=\frac{\gamma^2v^2}{c^4}\frac{\partial ^2\phi}{\partial t'^2}-\frac{\gamma^2}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}$

γ "=" \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}}

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}) \frac{в^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} - (\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}) \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} "=" (\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}) \frac{в^{2}}{с^{4}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} - (\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}) \frac{1}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}}

$\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'^2}-\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}=\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{v^2}{c^4}\frac{\partial ^2\phi}{\partial t'^2}-\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}$

(\frac{в^{2}}{с^{2} - в^{2}}) \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} - (\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}) \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} "=" (\frac{в^{2}}{с^{2} - в^{2}}) \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} \frac{1}{с^{2}} - (\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}) \frac{1}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}}

$\left( \frac{v^2}{c^2-v^2}\right)\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x'^2}-\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x'^2}=\left( \frac{v^2}{c^2-v^2}\right)\frac{\partial ^2\phi}{\partial t'^2}\frac{1}{c^2}-\left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}$

\frac{\partial ф^{2}}{\partial {Икс}^{' 2}} (\frac{в^{2}}{с^{2} - в^{2}} - \frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}) "=" \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} \frac{1}{с^{2}} (\frac{в^{2}}{с^{2} - в^{2}} - \frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}})

$\frac{\partial \phi^2}{\partial x'^2}\left(\frac{v^2}{c^2-v^2}- \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)=\frac{\partial^2 \phi}{\partial t'^2}\frac{1}{c^2}\left(\frac{v^2}{c^2-v^2}- \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)$

\frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} "=" \frac{1}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}}

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}$

Бибопбутнестади

Если вы объедините два полученных вами результата и воспользуетесь определением

γ

$\gamma$ вы не получаете правильный ответ?

нервххх

То, что вы сделали, правильно. Если вы отмените

γ^{2}

$\gamma^2$ на этом этапе вы получите

(v^{2} / c^{2} - 1) * (wave equation)

$(v^2/c^2 - 1)*(\text{wave equation})$ . Это просто волновое уравнение, умноженное на постоянный множитель, которое по-прежнему является волновым уравнением, но это то, что вас смущает, потому что вы ожидаете, что константа будет равна

1

$1$ . Вместо отмены

γ^{2}

$\gamma^2$ на этом этапе замените то, что есть, и вы обнаружите, что появляется волновое уравнение без надоедливой мультипликативной постоянной на переднем плане.

Ответы (3)

Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Если вы объедините два полученных вами результата и воспользуетесь определением $\gamma$ вы не получаете правильный ответ?
То, что вы сделали, правильно. Если вы отмените $\gamma^2$ на этом этапе вы получите $(v^2/c^2 - 1)*(\text{wave equation})$ . Это просто волновое уравнение, умноженное на постоянный множитель, которое по-прежнему является волновым уравнением, но это то, что вас смущает, потому что вы ожидаете, что константа будет равна $1$ . Вместо отмены $\gamma^2$ на этом этапе замените то, что есть, и вы обнаружите, что появляется волновое уравнение без надоедливой мультипликативной постоянной на переднем плане.

нервххх · Answer 1

Во-первых, ваше волновое уравнение неверно. Это видно из размерного анализа. Должен быть

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} "=" с^{2} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \end{align}$

[Редактировать (30.05.2020): Автор отредактировал вопрос, чтобы исправить эту ошибку, поэтому указанный выше пункт больше не актуален].

Во-вторых, вы ошиблись в перекрёстных терминах для $\partial^2 /\partial x^2$ срок. Перекрестный член должен иметь коэффициент $-2\gamma^2 v/c^2$ .

В-третьих, используйте тот факт, что $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ .

Вы получите желаемый результат.

Извините нервххх. Волновое уравнение в вопросе правильное, в том числе по размерности. Это то же самое, что вы цитировали, просто умножьте две стороны на c ^ 2.
@Riad да, очень проницательное наблюдение. Ответ, который я дал, был прямым ответом на версию 1 вопроса, которая к настоящему времени была отредактирована, чтобы показать правильное волновое уравнение.

Риши · Answer 2

Стоит подчеркнуть важный момент, который в вопросе обойден: сформулированное волновое уравнение, вообще говоря, не является инвариантным относительно наддува. Она лоренц-инвариантна только тогда, когда волна распространяется со скоростью $c$ . В частности, для волны, бегущей со скоростью $v$ удовлетворяющий

\frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} "=" \frac{1}{в^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}}

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}$ в некоторой системе координат данное волновое уравнение инвариантно относительно преобразования Лоренца в систему отсчета, бегущую со скоростью

β c

$\beta c$ данный

\begin{aligned} т^{'} & "=" γ (т - \frac{β Икс}{с}) \\ {Икс}^{'} & "=" γ (Икс - β с т) \end{aligned}

$\begin{align}t'&=\gamma\left(t-\frac{\beta x}{c}\right)\\x'&=\gamma(x-\beta c t)\end{align}$ только когда

v = \pm c

$v=\pm c$ . Это соглашение о переменных (в частности, значение

v

$v$ ) отличается в вопросе.

Доказательство этого утверждения находится путем небольшой модификации исчисления, выполненного в вопросе. У нас есть

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} & "=" \frac{γ^{2} β^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} + γ^{2} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} - \frac{2 γ^{2} β}{с} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}}; \\ \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} & "=" γ^{2} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} + γ^{2} β^{2} с^{2} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} - 2 γ^{2} β с \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}&=\frac{\gamma^2\beta^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}+\gamma^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}-\frac{2\gamma^2\beta}{c}\frac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial t'};\\ \frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}&=\gamma^2\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}+\gamma^2\beta^2c^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}-2\gamma^2\beta c\frac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial t'}. \end{align}$ Подставляя их в исходное волновое уравнение, мы находим следующее уравнение в терминах усиленных координат

(\frac{γ^{2}}{в^{2}} - \frac{γ^{2} β^{2}}{с^{2}}) \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} "=" (γ^{2} - \frac{γ^{2} β^{2} с^{2}}{в^{2}}) \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} - (\frac{2 γ^{2} β}{с} - \frac{2 γ^{2} β с}{в^{2}}) \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}} .

$\left(\frac{\gamma^2}{v^2}-\frac{\gamma^2\beta^2}{c^2}\right)\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}=\left(\gamma^2-\frac{\gamma^2\beta^2c^2}{v^2}\right)\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}-\left(\frac{2\gamma^2\beta}{c}-\frac{2\gamma^2\beta c}{v^2}\right)\frac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial t'}.$ Ясно, что волновое уравнение инвариантно, только если член смешанных частных исчезает. У нас есть

\frac{2 γ^{2} β}{с} "=" \frac{2 γ^{2} β с}{в^{2}} \Rightarrow в "=" \pm с .

$\frac{2\gamma^2\beta}{c}=\frac{2\gamma^2\beta c}{v^2}\Rightarrow v=\pm c.$ Выполнение этой замены для

v

$v$ в волновом уравнении в координатах со штрихом исходная форма со скоростью волны

c

$c$ восстанавливается:

\frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} "=" \frac{1}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} .

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t'^2}.$ Это говорит нам о том, что скорость волны, наблюдаемой в усиленном кадре, также равна

c

$c$ , что согласуется с тем принципом, что скорость света, измеренная усиленным наблюдателем, также

c

$c$ .

Цзыюань · Answer 3

То, что я делаю, ничем не отличается от других, но может быть немного более кратким. Сначала пусть $\tau=ct$ и

л "=" γ (в) (\begin{matrix} 1 & - в / с \\ - в / с & 1 \end{matrix})

$L=\gamma(v)\begin{pmatrix} 1 & -v/c\\-v/c & 1 \end{pmatrix}$ Затем

(\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} \\ \frac{\partial}{\partial т^{'}} \end{matrix}) "=" л (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial Икс} \\ \frac{\partial}{\partial т} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x'} \\[3pt] \dfrac{\partial}{\partial \tau'} \end{pmatrix} =L \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x} \\[3pt] \dfrac{\partial}{\partial \tau} \end{pmatrix}$ и

\begin{aligned} (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} & \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}} \\ \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{'} \partial т^{'}} & \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}} \end{matrix}) "=" & (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} \\ \frac{\partial}{\partial т^{'}} \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} \frac{\partial}{\partial т^{'}} \end{matrix}) ф "=" [л (\begin{matrix} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} & \frac{\partial^{2}}{\partial Икс \partial т} \\ \frac{\partial^{2}}{\partial Икс \partial т} & \frac{\partial^{2}}{\partial т^{2}} \end{matrix}) л^{Т}] ф \\ "=" & γ^{2} (в) (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} - \frac{2 в}{с} \frac{\partial^{2} ф}{\partial Икс \partial т} + \frac{в^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} & * \\ * & \frac{в^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} - \frac{2 в}{с} \frac{\partial^{2} ф}{\partial Икс \partial т} + \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x'^2} & \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial\tau'}\\[3pt] \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x'\partial\tau'} & \dfrac{\partial^2\phi}{\partial \tau'^2} \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x'} \\[3pt] \dfrac{\partial}{\partial \tau'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x'} \dfrac{\partial}{\partial \tau'} \end{pmatrix}\phi =\left[L\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2}{\partial x\partial\tau}\\[3pt] \dfrac{\partial^2}{\partial x\partial\tau} & \dfrac{\partial^2}{\partial \tau^2} \end{pmatrix}L^\mathrm{T}\right]\phi\\ =&\gamma^2(v) \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\dfrac{2v}{c}\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x\partial\tau}+\dfrac{v^2}{c^2}\dfrac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} & * \\[3pt] * & \dfrac{v^2}{c^2}\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\dfrac{2v}{c}\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x\partial\tau}+\dfrac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} \end{pmatrix} \end{align*}$ Так

\frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} "=" \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} ⟺ \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} + \frac{в^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} "=" \frac{в^{2}}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{2}} + \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{2}} ⟺ \frac{\partial^{2} ф}{\partial {Икс}^{' 2}} "=" \frac{\partial^{2} ф}{\partial т^{' 2}}

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} \Longleftrightarrow\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2}=\frac{v^2}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} \Longleftrightarrow\frac{\partial^2\phi}{\partial x'^2}=\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau'^2}$

Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Хорхе Лавин

Бибопбутнестади

нервххх

Ответы (3)

нервххх

Риад

нервххх

Риши

Цзыюань

Почему вычитание релятивистской скорости дает большую относительную скорость, чем классическая?

Проблема с использованием формулы замедления времени

Что делает быстрое (ac/de)ускорение в теории относительности с инерционными часами?

Как может сохраняться четырехкратный импульс в каждом кадре при упругом столкновении?

Максимальное собственное время в пространстве Минковского для свободных частиц

Преобразование координат сопутствующей системы отсчета для произвольной траектории

Что означает утверждение «законы физики инвариантны»?

Вычисление замедления времени для фотона, движущегося к движущемуся космическому кораблю

Спутник GPS — специальная теория относительности