Какова минимальная дискретная модель распространения волн?

Я не совсем уверен, что вы ищете, но вот как я думаю об этом на дискретном уровне (это следует за статьей Википедии о волновом уравнении).

Рассмотрим линию пружин, каждая из которых имеет массу$m$и длина$h$, с жесткостью пружины$k$. Расстояние до пружины, расположенной на$x$, смещена от равновесия, обозначается$y(x)$.

Сила пружины в месте$x+h$является

$$F = m \frac{d^2 y(x+h)}{dt^2}.$$

По закону Гука баланс массы этой пружины определяется выражением

$$F = F^{x+2h}-F^{x}$$ где верхний индекс означает силу, действующую со стороны всех пружин с той стороны рассматриваемой пружины.

Следующий,

$$F = F^{x+2h}-F^{x}=k([y(x+2h)-y(x+h)]-[y(x+h)-y(x)]).$$ Наконец, мы принимаем количество пружин равным $N$, при этом общая масса $M=Nm$, общая постоянная пружины $K=k/N$а общая длина определяется как $L=Nh$.

Таким образом, у нас есть

$$\frac{d^2 y(x+h)}{dt^2}=\frac{KL^2}{M}\frac{ y(x+2h)-2y(x+h)-y(x)}{h^2}.$$

Принимая ограничения$h \to 0, N\to \infty$и определение$c^2 =KL^2/M$, имеем волновое уравнение

$$y_{tt}-c^2 y_{xx}=0.$$

Прямой конечный разностный шаблон второго порядка задается выражением

$$f''(t) = \frac{f(t+2\Delta t)-2f(t+\Delta t) + f(t)}{\Delta t^{2}}$$ Определите правила обновления как $$P(x,t + \Delta t) = pP(x-\Delta x,t) + qP(x+\Delta x,t)$$ $$P(x,t+2\Delta t) = p\left[pP(x-2\Delta x,t) + qP(x,t)\right] + q\left[pP(x,t) + qP(x+2\Delta x,t) \right]$$ Используя шаблон конечных разностей, Тейлор расширяет $P(x \pm \Delta x,t)$и собирая термины мы находим $$\begin{align*} P(x,t+2\Delta t) - 2P(x,t + \Delta t) + P(x,t) = & \left(p+q\right)\left(p +q -1\right)P(x,t) + \\ & 2\left(-p^2 + q^2 + p -q \right)\Delta x \partial_{x}P(x,t) + \\ & \left(2p^2 + 2q^2 - p -q\right)\Delta x^{2}\partial_{xx}P(x,t) \end{align*}$$ С использованием $p+q=1$и разделив с $\Delta t^{2}$мы находим уравнение $$\partial_{tt}P(x,t) = 4\left(p - \frac{1}{2}\right)^{2} \frac{\Delta x^{2}}{\Delta t^{2}}\partial_{xx} P(x,t)$$ Таким образом, то же правило обновления, которое дает диффузию (см., например, Коэффициент диффузии для асимметричного (смещенного) случайного блуждания ), дает волновое уравнение. По-видимому, все дело в том, как взять предел $\Delta x \rightarrow 0$и $\Delta t \rightarrow 0$.