Связь между уравнением Шредингера и уравнением теплопроводности [дубликат]

1) И то, и другое: очевидно, что это уравнение теплопроводности в мнимом времени, и это волновое уравнение, потому что его решения являются волнами.

2) Нестационарное уравнение Шредингера (допустим, свободная частица)

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}\psi$$ существенно сложна: она никогда не может быть удовлетворена реальной функцией, только комплексной.

Тем не менее его решения являются волнами, поскольку комплекс$\psi$означает, что на самом деле это система двух вещественных уравнений первого порядка по времени. Предполагая$\psi=u+iv$у нас есть:

$$\hbar\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}v,\qquad \hbar\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}u.$$ Устранение, скажем, $v$, мы получаем: $$\hbar^2\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=-\frac{\hbar^4\nabla^4}{4m^2}u.$$ В двух измерениях это уравнение имеет тот же вид, что и волновое уравнение для изгибных (изгибных) волн на тонкой жесткой пластине. Он также 2-го порядка по времени и 4-го порядка по координатам. Аналогия распространяется и на волновые дисперсии: изгибные волны имеют квадратичную дисперсию $\omega\sim q^2$аналогично свободной частице, подчиняющейся уравнению Шредингера $E=p^2/2m$.

3) Эта аналогия широко используется в диффузионном методе Монте-Карло, где уравнение Шредингера решается за мнимое время. В этом случае его решение является затухающим, а не колебательным, и, если мы его правильно нормализуем, оно будет сходиться к волновой функции основного состояния:

https://en.wikipedia.org/wiki/Диффузион_Монте_Карло

http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~ajw29/thesis/node27.html

Что здесь рассеивается? Воображаемое время$\tau=it$, имеем следующее уравнение Шрёдингера для мнимого времени для частицы в потенциале$V$:

$$\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}-V\psi.$$ Первый член в правой части — обычная диффузия. Второй — это что-то вроде теплопродукции или горения, и его знак «минус» означает, что эта теплопродукция более интенсивна в минимумах температуры. $V$.

Таким образом, картина диффузии в мнимом времени такова: первый член («диффузия») пытается делокализовать$\psi$, а второй член пытается заманить$\psi$к минимумам потенциала$V$. Их взаимодействие такое же, как между кинетической и потенциальной энергиями в квантовой механике, и его результатом является волновая функция основного состояния — именно то, что используется в диффузионных расчетах методом Монте-Карло.