Какова область поддержки функции светимости Шехтера?

Сначала поймите, что это опасно близко к нумерологии в астрономии. Астрономы по какой-то причине хотели иметь очень «простую» функциональную форму для распределения светимостей галактик, и поэтому, конечно, если вы посмотрите достаточно близко (или даже не так близко, в зависимости от обстоятельств), реальные данные никогда не будут ужасно точно соответствовать. по этой форме, особенно в большом диапазоне яркостей.

Что касается поддержки, то она технически$(0,\infty)$в светимости$L$(переменная ОП$x$). Используя более распространенные обозначения, я напишу функцию Шехтера как

$$\Phi(L) = \frac{n_0}{L^*} \left(\frac{L}{L^*}\right)^\alpha \mathrm{e}^{-L/L^*},$$ где $\Phi(L)$измеряет числовую плотность на единицу объема на единицу светимости галактик со светимостью $L$и мой $n_0$некоторые авторы $\Phi^*$, но это дает $\Phi$и $\Phi^*$разные единицы. Вы быстро видите проблему с нормализуемостью в зависимости от $\alpha$. Если $\alpha \leq -1$, затем $$\int_0^{L_\text{max}} \Phi(L)\ \mathrm{d}L$$ расходится для любого $L_\text{max}$, что указывает на бесконечное количество галактик (почти все очень тусклых) на единицу объема. Соответствие реальным данным часто имеет $\alpha$колеблется около этого режима, так что проблема не только академическая.

Конечно, как указано в оригинальной статье Шехтера ,

$$\int_0^\infty L \Phi(L)\ \mathrm{d}L = n_0 L^* \Gamma(\alpha+2)$$ для $\alpha > -2$, так что плотность светимости все еще конечна для разумных значений $\alpha$.

При подгонке данных обратите внимание, что расхождения обычно достаточно велики в пределах двух или трех (астрономических) магнитных отсчетов.$L^*$что эти точки данных часто не включаются в подбор. Я предполагаю, что гладкая функция взвешивания, которая уменьшает вес этих точек в соответствии с их близостью к$L^*$тоже можно было бы использовать.

В заключение: Нормализация связана с фактической плотностью галактик в выборке, которая в некоторых случаях может быть бесконечной.

Поддержку распределения Парето можно определить, потребовав, чтобы оно было нормализовано до 1:

$$\int_{x_\text{min}}^\infty p(x)\mathrm{d}x = \int_{x_\text{min}}^\infty \frac{\alpha - 1}{x_0}\biggl(\frac{x}{x_0}\biggr)^{-\alpha}\mathrm{d}x = \biggl(\frac{x_\text{min}}{x_0}\biggr)^{1 - \alpha} = 1$$

который получает вас$x_\text{min} = x_0$. Таким образом, вы можете применить те же рассуждения к функции яркости:

$$\int_{x_\text{min}}^\infty p(x)\mathrm{d}x = \int_{x_\text{min}}^\infty Ce^{-\frac{x}{x_0}}\biggl(\frac{x}{x_0}\biggr)^{-\alpha}\mathrm{d}x = Cx_0\Gamma\biggl(1 - \alpha, \frac{x_\text{min}}{x_0}\biggr) = 1$$

где$\Gamma$– верхняя неполная гамма-функция и$C$- постоянная нормализации вашей функции яркости. Вы должны решить это уравнение для$x_\text{min}$, что может быть выполнено численно с использованием любого из различных алгоритмов поиска корня или реализации обратной неполной гамма-функции; или вы можете использовать алгоритм наименьших квадратов, чтобы сопоставить эту функциональную форму с вашими данными и тем самым определить оба$C$и$x_\text{min}$.