Какова вероятность воздействия?

Мне... нравится этот вопрос. Во-первых, наборы TLE почти бесполезны для точной оценки вероятности столкновения, потому что они не содержат оценку неопределенности на орбите, которая в конечном итоге влияет на вашу вероятность столкновения.

Итак, если вы получили полное сообщение с высокоточным вектором состояния и соответствующей ковариационной матрицей (полное состояние 6x6 лучше, но 3x3 может работать) для каждого спутника , есть несколько вещей, которые вы можете сделать. Есть довольно много разных методов для оценки этого, поищите пару примеров в работах Альфано и Патеры.

Проблема в основном сводится к оценке перекрытия неопределенности в момент наибольшего сближения. Представьте себе «неопределенность» (в трех измерениях) в виде эллипсоида — если вы знакомы с концепциями вероятности, это ваша многомерная плотность вероятности. Теперь вероятность столкновения можно рассматривать как степень перекрытия между этими двумя эллипсоидами. В вашей конкретной ситуации у вас нет полной информации о состоянии и неопределенности для обоих объектов, но здесь применяются аналогичные концепции (они по существу делают некоторые предположения и объединяют неопределенность объектов).

Чтобы попытаться ответить на ваши вопросы более прямо:

1. Я предполагаю, что вы спрашиваете, какое минимальное расстояние вы (как оператор) должны терпеть. Здесь сложно установить конкретное значение. Обычно вы получаете оценку вероятности столкновения и назначаете порог в этом пространстве, например, «все, что выше вероятности столкновения 1e-4, и мы будем маневрировать». Что касается того, какое расстояние представляет собой «попадание», обычно предполагается, что оба объекта имеют сферическую форму. Это может быть сложно, если вы мало что знаете о другом объекте.

2. Основные концепции см. выше, но реализация, очевидно, требует знания вероятностных концепций, динамики орбиты и (предпочтительно) методов оценки состояния.

Наконец, это очень активная тема исследований, и часто появляются статьи, описывающие «новый» способ сделать это. Я также должен упомянуть, что, хотя то, что я объяснил, часто используется на практике, есть несколько причин полагать, что оно на самом деле не дает точной оценки вероятности столкновения.

К сожалению, открытая литература по этой теме скудна, но поиск авторов, о которых я упоминал выше, и фактически просто термины «вероятность столкновения со спутником» даст вам несколько очень полезных результатов, если у вас есть правильный доступ (статьи журнала AIAA, для пример).

Однако вы можете оценить это численно, а не аналитически, используя методы Монте-Карло. Вот быстрый и грязный способ сделать это:

1. Образец с вашего «основного» спутника (того, для которого вы получили отчет о соединении). Для этого сгенерируйте нормально распределенный случайный вектор 3x1 с нулевым средним значением и единичной дисперсией ( стандартный normal . Теперь возьмите свою ковариацию 3x3 для этого объекта, найдите его разложение Холецкого (вы должны быть в состоянии найти подпрограмму для этого в ваш программный пакет — «chol» в Matlab), и умножьте его на ваш случайный вектор.Теперь вы произвели выборку своего вероятностного пространства.

2. Повторите № 1 для соединяющегося объекта. Однако после того, как вы сэмплируете, вам нужно перевести каждую точку в соответствии с ее положением, которое дано вам в координатах RIC. Просто добавьте свой вектор положения к случайному вектору.

3. Рассчитайте расстояние между двумя образцами. Запишите указанное расстояние.

4. Повторите шаги 1-3 для очень большого количества образцов (думаю, десятки тысяч — обычно чем больше, тем лучше).

5. Теперь у вас есть список «пропущенных расстояний». Есть несколько вещей, которые вы можете сделать с этим, но одна вещь, которая особенно полезна, — построить эмпирическую кумулятивную функцию распределения . Вы можете посмотреть, как это сделать, но вы сможете найти функцию для этого в большинстве программных пакетов (в Matlab это «cdfplot»). Это даст вам график, который выглядит так (только с x> 0):

Один из способов прочесть это — выбрать удобное для вас «расстояние промаха» (скажем, 20 м) и найти значение$F(x)$при этом значении$x$. Это вероятность того, что вы окажетесь в пределах 20 м или менее от спутника-нарушителя. Если оно превышает некоторый порог, который вы определили с вашим руководством, вы начинаете увлекательную задачу по планированию маневра уклонения. Если нет, то вы ждете и смотрите. Кроме того, вы можете указать удобную для вас вероятность и вычислить связанное с ней расстояние промаха.

Одна вещь, которую вы заметите, это то, что вы действительно сосредоточены на хвосте вашего графика... и вы увидите, что для получения плавного представления хвоста вам нужно чертовски много выборок. Так что, как я уже сказал, чем больше, тем лучше.

И последнее: если вы выполнили эти шаги, число вероятности, которое у вас есть, равно$1\sigma$. Для, скажем,$3\sigma$оценки, просто умножьте две ваши ковариационные матрицы на ваш коэффициент (в данном случае 3).

Уравнение для расстояния между двумя объектами — это просто величина вектора между их положениями. Численное нахождение корней упрощается, если известна аналитическая производная, которая

Результатом является то, насколько близко два объекта прошли бы друг от друга , если бы вы знали все точно , чего, конечно же, нет, поэтому вы должны включить неопределенность в модель. То, как мы описываем неопределенность в астродинамике, — это ковариационные матрицы. Используя их, мы выражаем переменные в уравнениях как стандартные нормальные распределения вероятностей. Интеграция по этим распределениям, как в приведенном ниже уравнении, вычисляет вероятность того, что расстояние наибольшего сближения (DCA) меньше, чем некоторое значение, заданное пользователем. Каждая ковариация описывает распределение вероятностей по значениям связанных параметров. Вычисление может быть выполнено различными способами, включая метод Монте-Карло, описанный в другом ответе .на этот же вопрос. Положение и скорость являются наиболее часто наблюдаемыми, но все , что может быть неизвестно, имеет свою собственную ковариацию (включая корреляции с другими переменными) и должно интегрироваться с распределением вероятностей, широко отражающим связанную с ним неопределенность. В этой конкретной задаче, если один или оба объекта не являются сферами, то оценка отношения и его неопределенность могут играть большую роль, если хотите, или вы можете исключить их для удобства.

На этом уровне детализации все алгоритмы одинаковы. Различия заключаются в том, какой именно выбор делает каждый автор, чтобы упростить расчет до чего-то, что можно сделать относительно быстро, не требуя слишком большого сбора данных или жертвуя слишком большой точностью. Метод, описанный в документе « Вероятность столкновения в Объединенном центре космических операций » от 24 июня 2016 г. (далее — ПКД ), может быть использован для иллюстрации одного из способов, которым это можно было бы сделать, но есть много других возможностей.

На странице 3 PCJ говорится, что ковариация распространяется в формате, описанном в Рекомендованном стандарте Консультативного комитета по системам космических данных ( CCSDS ) для сообщений с данными соединения (CCSDS 508.0-B-1 , далее CDM ). Лучше всего начинать чтение с конца, с Приложения E (стр. 66-70 из 72), так как оно определяет термины, используемые в документе. Радиальное, внутрипутное и поперечное значения в сообщении соединения являются компонентами вектора, имеющего DCA в качестве его величины, когда время равно TCA. То, как эти термины используются как в CDM , так и в PCJ, радиальное (R) направление является точно радиальным, поэтому направление внутри пути (T) не точно совпадает со скоростью, а поперечное направление пути называется N (нормально к плоскости орбиты).<1>

CDM не указывает, как должна рассчитываться вероятность столкновения. Вместо этого он дает библиографию пяти различных методов и процедуру регистрации новых опций для ключевого слова метода. На данный момент полный список Управления по присвоению номеров (SANA) включает 14 вариантов. Из них в собственной библиографии PCJ указан Foster 1992 (Foster, JL, and Estes, HS, A Parametric Analysis of Orbital Debris Collision Probability and Maneuver Rate for Space Vehicles. NASA/JSC-25898. Хьюстон, Техас: NASA Johnson Space Flight Center, август 1992 г.) и Chan, 1997 г. (Chan, K. Анализ вероятности столкновения спутников, находящихся на околоземной орбите. InКосмическое сотрудничество в 21 веке: 7-й симпозиум AAS/JRS/CSA, Международная космическая конференция обществ Тихоокеанского бассейна (ISCOPS; ранее PISSSTA) (15–18 июля 1997 г., Нагасаки, Япония), под редакцией Питера М. Бейнума и др. др., 1033-1048. Достижения в серии 96 астронавтических наук. Сан-Диего, Калифорния: Univelt, 1997). Более новые методы Alfano , Alfriend , McKinley и Patera не упоминаются в PCJ , но некоторые из них есть в CDM .

Цитаты из PCJ , которые непосредственно отвечают на ваши конкретные вопросы, включают:

определить самое длинное расстояние, на котором центры масс двух спутников могут быть разделены, и при этом два спутника соприкасаются. Это определяет "заданное расстояние друг от друга", которое используется в$P_c$расчет. Обратите внимание, что если два спутника не являются сферами, то простое изменение ориентации означает, что они могут не соприкасаться, и столкновения не произойдет.

опишите первичный и вторичный объекты сферой, добавьте два радиуса сферы, чтобы создать супервентную сферу, которая может содержать обе описывающие сферы, и спроецируйте эту супервентную сферу на плоскость соединения как круг.

Предварительно установленные значения по умолчанию для полезной нагрузки и платформ (5 метров), корпусов ракет и неизвестных объектов (3 метра) и обломков (1 метр) были определены путем изучения размеров объектов в каталоге космических объектов и обычно используются.

Ковариационная матрица для каждого объекта привязана к его собственной системе координат RTN. Для каждого объекта компоненты матрицы вычисляются с использованием 5-точечной лагранжевой интерполяции ковариации в файле эфемерид, созданном JSpOC, [при условии, что] первичная и вторичная ошибки независимы, что позволяет «комбинированной» ковариации быть простой суммой индивидуальных ковариаций (в обычный кадр)

Расчет$P_c$происходит в плоскости столкновения... перпендикулярно вектору относительной скорости в ТСА. Это сводит математику с 3D к 2D. уравнение, используемое для вычисления$P_c$является:

$$\frac{1}{2\pi\sqrt{|C|}} \iint_{x^2+y^2 \leq d^2} \exp \left( -\frac{1}{2} (\r-\r_{SP})^T C^{-1} (\r-\r_{SP}) \right) dx\, dy$$

куда$C$представляет собой проекцию 2X2 комбинированной ковариации 3X3 в TCA на плоскость столкновения,$|C|$является определителем$C$,$C^{-1}$является обратным$C$,$d$сумма двух размеров объекта,$\r = (x, y)^T$любая точка в плоскости столкновения такая, что$x^2 + y^2 \leq d^2$, а также$\r_{SP}$- положение вторичного элемента относительно первичного вдоль оси x в плоскости столкновения.

JSpOC использует функции ошибок (ERF) для вычисления двойного интегрирования в$P_c$уравнение. Кроме того, JSpOC выполняет интегрирование по квадрату, описывающему окружность радиуса$d$. Этот квадрат совмещен с осями комбинированной двумерной функции плотности вероятности в плоскости столкновения. Это упрощает вычисление$P_c$но дает немного большее значение.

Каждое предположение, сделанное PCJ , намеренно завышает размер объектов и, следовательно, намеренно переоценивает риск столкновения, чтобы ошибиться в сторону отправки слишком большого количества предупреждений, а не слишком малого. Если вы действительно знаете, каковы размер, форма и ориентация двух объектов, вы можете добавить это к своим расчетам, как это делает Жорж Криер в работе «Вероятность столкновения спутников для долгосрочных столкновений и произвольная первичная форма спутника» (2017 г.), но для эффективно использовать информацию о форме, вам необходимо иметь хорошую оценку как состояний отношения, так и ковариаций в них.

Сноска <1>: CDM называет два разных кадра, которые могут означать слова «радиальный» и «внутренний», но только один из них фактически используется в формате сообщения. Тот, который они используют, они называют «RTN», что означает «Радиальный, поперечный, нормальный». Нормальный означает единичный вектор, параллельный угловому моменту (позиционная поперечная скорость), Радиальный означает параллельный вектору, указывающему от центрального тела к вращающемуся объекту (эквивалентно, от объекта вдали от центрального тела), а Поперечный означает единичный вектор, который завершает правую систему, которая указывает в плоскости орбиты где-то близко, но не точно совпадает со скоростью объекта, за исключением апогея и перигея, или если эксцентриситет равен нулю. Имя, которое они дают другому фрейму, которого они нехотите, чтобы вы использовали «TVN», что означает «Поперечное, Скорость, Нормальное», где «Нормальное» то же самое, «Скорость» точно совпадает с фактическим направлением мгновенной скорости, а «Поперечное» по-прежнему означает завершение правосторонней системы, но это означает, что она указывает в плоскости орбиты где-то близко, но не точно совпадающем с внешним радиальным вектором положения объекта, за исключением апогея и перигея, или если эксцентриситет равен нулю. Естественно, эти названия различаются в зависимости от того, какого автора вы читаете! То , что CDM называет RTN (используется), PCJ называет UVW (сноска 13, стр. 3) и RSW Вальядо (стр. 157 4-го издания), а то, что CDM называет TVN (не используется), называется PTW PCJ и NTW Вальядо. .

Документ https://www.space-track.org/documents/How_the_JSpOC_Calculates_Probability_of_Collision.pdf был написан и опубликован в 2016 году. В нем обсуждается процесс расчета вероятности столкновения в Объединенном центре космических операций (CSpOC) космических сил Ванденберга. База в Калифорнии.