Каково характерное время достижения гиперболической избыточной скорости в пределах сферы влияния?

Вкратце: для путешествия с Земли на Марс я получаю скорость на 1% больше, чем$v_{\infty}$в точке около 70% пути к СОИ Земли.

---

Речь идет об уходе с планеты и переходе к межпланетному перелету, и, поскольку используется термин «сфера влияния», предположительно предполагается приближение с заплатанными кониками, поэтому мы можем думать о Земле как о единственном источнике гравитации и работать в остальной каркас Земли.

Уравнение vis-viva дает все, что нам нужно.

$$v^2=GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right).$$

Если мы начнем с круговой орбиты на НОО с радиусом$a_0$, скорость

$$v_{LEO}=\sqrt{\frac{GM_E}{a_0}.}$$

После пропульсивного$\Delta v$скорость

$$v_0 = v_{LEO} + \Delta v.$$

Переставьте vis-viva, чтобы найти новую большую полуось гиперболы:

$$a_{hyp}=1/\left(\frac{2}{a_0}-\frac{v_0^2}{GM_E}\right).$$

Для гиперболической орбиты большая полуось отрицательна.

Теперь вы можете получить скорость (на самом деле скорость) на любом расстоянии r:

$$v^2=GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a_{hyp}}\right),$$

$$v(r)=\sqrt{GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a_{hyp}}\right)},$$

и принимая предел$r \rightarrow \infty$мы получаем$v_{\infty}$

$$v_{\infty}= \sqrt{\frac{GM_E}{-a_{hyp}}}.$$

Кстати, если вы хотите рассчитать кинетическую и потенциальную энергию космического корабля с массой$m$на любом расстоянии$r$вы можете просто использовать:

$$T(r)=\frac{1}{2}mv^2(r),$$

$$U(r)=\frac{-GM_E m}{r},$$

и сумма двух должна оставаться постоянной. На самом деле это душа уравнения vis-viva!

---

Хорошо, теперь давайте введем некоторые цифры;

$GM_E$= 3,986E+14 м^3/с^2

$GM_S$= 1,327E+20 м^3/с^2

$a_0$= 6 378 000 + 250 000 метров

$\Delta v$= 5,7000 м/с

$AU$= 1,5E+11 метров

$R_{SOI} = AU\left(\frac{GM_E}{GM_S} \right)^{2/5}$~ 9.27E+08 метров

я получил$v_{\infty}$около 7795 м/с и скорость на 1% выше, чем на расстоянии 655000 км от земли, или около 70% пути до края сферы.

Нуль.

Фактическая избыточная скорость достигается сразу после выхода из сферы влияния планеты. С этого момента скорость начинает изменяться (в произвольном направлении) в первую очередь под влиянием тела, в сферу действия которого попал аппарат.

Конечно, это упрощение - на самом деле оба тела (как и все остальные) все время влияют на скорость, просто самое сильное влияние оказывает тело, в СОИ которого вы находитесь, но для целей этого объяснения предположим, что Исправлены Conics вместо модели N-body; разница спорна для этой цели.

Поскольку вы всегда находитесь в каком -то SOI, бессмысленно думать об «истинной избыточной скорости» относительно одного SOI после того, как вы прошли через другой SOI. У вас есть (одна, фактическая, истинная) избыточная скорость при достижении края, тогда у вас просто есть скорость в другом СОВ, и она может сильно отличаться, и вы все равно можете получить относительную скорость к первому телу, если вы' склоняюсь, но это не будет какое-то особенное «настоящее», оно будет просто другим.

Скажем, вы уходите от Moon SOI по траектории свободного возврата. Какой будет «истинная избыточная скорость», если вы находитесь на траектории входа в атмосферу Земли? Относительно какой скорости мы должны вычислить ошибку?

И даже если вы отправитесь в глубокий космос, выброситесь из Солнечной системы в сторону Проксимы Центавра, вы останетесь в SOI Солнца примерно до середины пути, когда войдете в SOI Проксимы — и в этот момент вы перестанете терять скорость как вас начнет тянуть к Проксиме.