Каково значение безразмерной константы связи?

Все это связано с перенормировкой.

Квантовые теории поля обычно страдают ультрафиолетовыми расходимостями. Эти неприятные артефакты наших идеализаций возникают из-за нашего желания включить в картину произвольные короткомасштабные флуктуации. Другими словами, если мы доверяем нашей КТП на произвольных малых масштабах (чего, вероятно, не следует делать), бесконечности появляются как результаты вычислений корреляционных амплитуд, и теория теряет смысл.

В первой половине 20 века была разработана определенная методика преодоления этих ультрафиолетовых расходимостей. Это происходит в два этапа:

1. Регуляризация: надеются изменить исходную теорию таким образом, чтобы она была конечной и напоминала исходную теорию в некотором пределе. Например, можно было бы использовать обрезание по импульсу, искусственно исключив моды Фурье с большим импульсом:$\omega^2 + p^2 > \Lambda^2$, где$\Lambda$называется обрезанием импульса и имеет размерность энергии или обратной длины. Исходная теория восстанавливается в пределе$\Lambda \rightarrow \infty$.

2. Перенормировка: теперь, когда у нас есть теория, которая имеет смысл, применяется умная идея. Обычно мы позволяем некоторым параметрам лагранжиана, таким как константы связи, зависеть от$\Lambda$. Это позволяет компенсировать изменение$\Lambda$изменением этих параметров таким образом, чтобы предел$\Lambda \rightarrow \infty$становится неособым. Затем физическая теория определяется как предел таких теорий. Если этот шаг можно провести последовательно, то теория называется перенормируемой. В противном случае он называется пертурбативно неперенормируемым.

Теперь наступает важная часть, которую часто неправильно понимают. Мы не просто избавились от бесконечностей, мы переопределили теорию. Определенная таким образом теория не эквивалентна (бесконечной, несуществующей) теории с исходным лагранжианом. В частности, он не обладает некоторыми симметриями исходного лагранжиана, в частности масштабной симметрией.

Рассмотрим перемасштабирование координат пространства-времени. Определенная выше теория ведет себя нетривиально при таких перемасштабированиях, которые называются действием ренормализационной группы. Фактически, мы могли бы классифицировать все КТП по трем категориям:

• Соответствующие муфты имеют положительные массовые размеры, например$\phi^4$в 3д. Они уменьшаются по мере приближения к ультрафиолетовому режиму, поскольку отсечка$\Lambda$становится эффективно меньше по сравнению с нашей увеличивающейся шкалой энергии, поэтому взаимодействие становится неважным. С другой стороны, связь увеличивается, когда мы приближаемся к инфракрасной области (крупномасштабные флуктуации). Таким образом, такие взаимодействия будут проявляться в больших масштабах.

• Нерелевантные муфты имеют отрицательные массовые размеры, например$\phi^4$в 5д. В отличие от первого случая, они увеличиваются по мере приближения к ультрафиолетовой области, но не имеют значения (отсюда и название) в больших масштабах. Заметим, что в УФ теория возмущений не работает, так как разрывается связь, и мы уже не можем считать ее малой и расширять ее по степеням. Такие теории всегда неперенормируемы. Пертурбативная общая теория относительности принадлежит к этой категории теорий.

• Третья категория - это «маргинальные» муфты с нулевой размерностью массы, такие как$\phi^4$в 4д. В этом случае поведение связи в УФ и ИК диапазоне полностью определяется квантовыми флуктуациями и не может быть выведено из простого размерного анализа. Например, КЭД не работает в УФ (также известная как проблема полюса Ландау), в то время как неабелевы калибровочные теории с компактными калибровочными группами асимптотически безопасны. Эти теории могут быть как перенормируемыми, так и неперенормируемыми.

В заключение: безразмерные связи наиболее интересны тем, что они могут привести к перенормируемым теориям. Кроме того, связи с отрицательной размерностью массы не имеют значения в инфракрасной области и всегда пертурбативно неперенормируемы (хотя иногда они могут иметь смысл непертурбативно, лучшим примером, вероятно, является Общая теория относительности в трех пространственно-временных измерениях). Надеюсь, это ответит на ваш вопрос.