Контртерминальный лагранжиан и перенормировка?

Я просматриваю заметки о QFT М. Средненицкого (онлайн здесь ), и мне трудно понять перенормированный лагранжиан.

Рассмотрим скалярное поле Клейна-Гордона с членом взаимодействия, например$V(\phi)\propto \phi^3$. Доказывая формулу редукции LSZ, Среднецкий утверждает, что для того, чтобы она имела смысл, поле должно подчиняться следующим соотношениям:

1. Позволять$|\Omega\rangle$быть точным основным состоянием. При условии, что$a(p)|\Omega\rangle=0$, мы должны иметь$\langle \Omega |\phi(x)|\Omega\rangle=0$. С этой целью мы переопределяем$\phi\to \phi+\text{const.}$(сдвинуть поле).

2. Позволять$|p\rangle=a^\dagger(p)|\Omega\rangle$быть одночастичным состоянием. Для обеспечения корректной нормализации такого состояния необходимо иметь$\langle p|\phi(x)|\Omega\rangle=\exp(-ikx)$. Как и раньше, мы переопределяем$\phi\to \text{const.}\ \phi(x)$(изменить масштаб поля).

После того, как мы переопределим поле, мы получим что-то вроде$\phi(x)\to A\phi(x)+B$. Средненицкий утверждает, что лагранжиан становится чем-то вроде$L=Z_1 (\partial \phi)^2+Z_2 m^2 \phi^2+Z_3 g \phi^3+Z_4 \phi$.

Первый вопрос : у нас было два ограничения, так как же нам получить четыре константы перенормировки ?$Z_i,\ i=1,2,3,4$. То есть у нас должно быть$Z_i=Z_i(A,B)$, куда$A,B$являются вышеупомянутыми константами "сдвига" и "перемасштабирования"$\phi(x)\to A\phi(x)+B$. Поскольку есть две константы, должны быть две (линейные) зависимости между четырьмя$Z_i$. Это правильно? Это вообще важно? Почему это никогда не обсуждается?

Второй вопрос : далее мы изучаем динамику, скажем, с помощью интеграла по траекториям. Как обычно, мы определяем

$$Z[J]=\int D\phi\ \exp\left[i\int \mathrm d x\ L_0+L_1+J\phi\right]$$

куда$L_0$является свободным лагранжианом и$L_1$это "все остальное":

$$\begin{aligned} L_0&=(\partial \phi)^2+m^2\phi^2\\ L_1&=Z_3 g\phi^3+(Z_1-1)(\partial \phi)^2+(Z_2-1)m^2\phi^2+Z_4 \phi \end{aligned}$$

Мы получаем обычное$Z_0[J]$с точки зрения пропагатора, а все остальное трактовать как возмущения:

$$Z[J]\propto \exp\left[i\int \mathrm dx\ L_1\left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)\right] Z_0[J]$$

Я понимаю необходимость рассматривать кубические и линейные члены как возмущения, но почему бы нам не рассматривать$(Z_1-1)(\partial \phi^2)$а также ($Z_2-1)m^2\phi^2$точно термины? Эти члены квадратичны по полям, поэтому их можно включить в пропагатор, просто выполнив обычные шаги, принимая во внимание эти константы умножения.

Я знаю, что мы обычно используем контртермины, чтобы «поглощать» бесконечности, но это немного похоже на обман: мы можем точно решить задачу, но не делаем этого, потому что знаем, что скоро нам понадобятся некоторые степени свободы, чтобы избежать неприятностей. .. Вероятно, я что-то не понимаю, и я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь из вас мог направить мои мысли в правильном направлении.

Наконец , есть техническая особенность, которая меня немного раздражает. Поле является оператором, поэтому, имея дело с экспонентой в интеграле по путям, мы должны быть осторожны, как и вообще$\exp(A+B)\neq\exp(A)\exp(B)$, вместо этого мы должны использовать метод Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. Это означает, что в интеграле по путям не следует писать

$$\exp\left[i \int\mathrm dx\ L\right]=\exp\left[i\int \mathrm d\ x L_1\left(\frac{\delta}{\delta J(x)}\right)\right] Z_0[J]$$

потому что$\exp[S_0+S_1]\neq\exp[S_0]\exp[S_1]$. Во всяком случае, как оба$\phi$и его импульс коммутирует с их коммутатором, BCH должно быть довольно легко реализовать, так как нам потребуется только первая поправка$\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)\exp(-\frac{1}{2}[A,B])\exp(...)$

Я хотел бы извиниться, если мои обозначения небрежны (очевидно, я был бы рад сделать их более точными, если бы меня попросили). Кроме того, могут отсутствовать некоторые константы (поскольку$\frac{1}{2}$множители в лагранжиане), но это здесь не очень важно.