Пешеходное объяснение ренормализационных групп — от КЭД до классических теорий поля

Я тоже не специалист в этой теме, но пытаюсь разобраться в этом.
Сейчас я пытаюсь составить адекватную иерархию понятий, связанных с перенормировкой. Перечислю их и расскажу, как они связаны:

1. Поля, лагранжиан (гамильтониан) и константы связи.
2. Пертурбативные расчеты.
3. Разные масштабы.
4. Самоподобие.
5. Квантовые поля.
6. Ультрафиолетовые расходимости.
7. Перенормировка.
8. Ренормализационная группа и бегущие муфты.
   (Подчеркну, что «перенормировка» и «перенормгруппа» — разные понятия.)

Конечно, концепция поля и способ его описания (1) являются отправной точкой.

Теперь мне кажется (хотя я могу ошибаться), что каждый раз, когда мы говорим о перенормировке, мы всегда имеем дело с каким-то пертурбативным подходом (2). Всегда есть что-то, чем мы хотим пренебречь. И если есть способ производить расчеты без каких-либо приближений, то можно не использовать приемы, связанные с перенормировкой.

Один из самых простых примеров — гидродинамика — вы не хотите «спускаться» на уровень молекул, чтобы описать поток воды. Вы хотели бы работать с некоторыми «интегральными» величинами, такими как вязкость. А вязкость можно использовать для описания процессов во многих различных масштабах (3): кровоток, бабочка, подводная лодка, внутренности звезды и т. д.

Гидродинамика работает на разных масштабах из-за самоподобия (4): увеличившись на несколько порядков, вы все равно сможете описать свою систему с тем же лагранжианом, но, может быть, с некоторыми измененными параметрами. При переходе от одного масштаба к другому всегда пренебрегают некоторыми особенностями (2), которые проявляются на меньшем масштабе.

В этом суть техники ренормализационной группы (8). Изменяющиеся параметры также называют ходовыми муфтами. Я рекомендую вам прочитать о преобразовании Каданова, чтобы получить больше информации об этом.

Обратите внимание, что я никогда не упоминал о расхождениях. Потому что это немного другая тема. И можно использовать ренормализационную группу, даже если бесконечностей нет.

УФ-расхождения появляются из-за нашего незнания меньших масштабов. Когда мы говорим о гидродинамике, мы знаем, что существует «фундаментальная шкала» — вышеупомянутые молекулы. Но когда мы говорим о квантовых полях (6) (таких как электромагнитное поле или какое-нибудь фермионное поле), мы не знаем, каков для него «фундаментальный» масштаб. Мы даже не знаем, существует ли он вообще.

Различные методы работы с расходимостями называются методами перенормировки (7). Они тоже основаны на изменениях параметров ларанжиана, но теперь эти изменения «бесконечны», потому что приходится «компенсировать бесконечности», возникающие из малых масштабов. После отмены бесконечностей таким образом остается произвол в выборе конечных значений параметров. Вы можете зафиксировать параметры, получив их из эксперимента в определенном масштабе (3), и использовать группу ренормализации (8), чтобы перейти от одного масштаба к другому.

Во-первых, полное понятие ренормализационной группы, изучаемое в КТП, определенно не нужно в классической теории. Это связано с тем, что КТП на самом деле не имеет смысла без схемы перенормировки, и для любой теории всегда нужно исследовать поток связей к некоторым фиксированным точкам (соответствующим конформным теориям поля), чтобы проверить, является ли данная теория перенормируемой в первую очередь. . Таким образом, перенормировка является неотъемлемой частью КТП, в отличие от классических теорий.

Другое место, где важно понятие потока ренормализационной группы, - это теория конденсированного состояния. Это связано с тем, что эти потоки имеют неподвижные точки, которые (когда они нетривиальны) соответствуют критическим точкам (это опять-таки связано с упомянутой конформной симметрией). Затем используется ренормализационная группа, чтобы увидеть, как ведет себя поток вокруг этой точки, и это дает ценную информацию о поведении макроскопических величин (таких как удельная теплоемкость) в критической точке.

Но само по себе это понятие не так уж важно, если все, о чем вы заботитесь, это интеграция степеней свободы UV. Я не думаю, что вам нужен поток в классической теории. Все, что вам нужно сделать, это интегрировать некоторое энергетическое взаимодействие с окружающим полем, чтобы получить эффективную массу (для одного конкретного примера). Хотя ренормализационная группа дает полезную основу для общего понимания масштабов теорий и их эффективности, в большинстве случаев она не нужна.

Марек писал: «Во-первых, полное понятие ренормализационной группы, изучаемое в КТП, определенно не нужно в классической теории…».

Марек, перенормировка массы впервые появилась в классическом электромагнетизме, не так ли? Возьмите «определение»:$m_{physical} = m_{bare} + \delta m$. Это одно ограничение для двух дополнений, поэтому даже в CED существует однопараметрическая группа «инвариантности». Как только массовая перенормировка (отбрасывание$\delta m$изначально физическое$m$) делается ровно, только один раз, не особо интересно, мягко говоря. В КЭД эта «свобода» распространяется на заряд и делается пертурбативно, но основной смысл остается — ренормгруппа — это «свобода» в выборе двух термов для удовлетворения одного ограничения:$e_{physical} = e_{bare}(\Lambda) + \delta e(\Lambda)$куда$(\Lambda)$является отсечкой.

Если мы вернемся к первоначальному смыслу перенормировок как к отбрасыванию ненужных пертурбативных поправок к исходно правильным, физическим, фундаментальным постоянным значениям, то не появится ни группы, ни дурацкой связи между «голыми» и «физическими» константами (нет полюса Ландау), и все просто: отбрасываются бесконечные или конечные вклады самодействия. Самодействие — ошибочное понятие: оно не ведет ни к какому изменению (никакому действию по определению), только к неправильным терминам, которые в конце концов отбрасываются.