Каковы обосновывающие основания статистической механики без обращения к эргодической гипотезе?

Эргодическая гипотеза не входит в основы статистической механики. На самом деле, это становится актуальным только тогда, когда вы хотите использовать статистическую механику, чтобы делать заявления о средних значениях времени. Без эргодической гипотезы статистическая механика делает утверждения об ансамблях, а не об одной конкретной системе.

Чтобы понять этот ответ, вы должны понять, что физик подразумевает под ансамблем. Это то же самое, что математики называют вероятностным пространством. Статья в Википедии «Статистический ансамбль» довольно хорошо объясняет эту концепцию. В нем даже есть абзац, объясняющий роль эргодической гипотезы.

Причина, по которой некоторые авторы выставляют эргодическую гипотезу центральной в статистической механике, заключается в том, что они хотят дать вам обоснование того, почему они так заинтересованы в микроканоническом ансамбле. И причина, которую они приводят, заключается в том, что эргодическая гипотеза верна для этого ансамбля, когда у вас есть система, для которой время, которое она проводит в определенной области доступного фазового пространства, пропорционально объему этой области. Но это не главное в статистической механике. Статистическая механика может быть выполнена с другими ансамблями, и, кроме того, есть другие способы обосновать канонический ансамбль, например, это ансамбль, который максимизирует энтропию.

Физическая теория полезна только в том случае, если ее можно сравнить с экспериментами. Статистическая механика без эргодической гипотезы, которая делает утверждения только об ансамблях, полезна только в том случае, если вы можете проводить измерения ансамбля. Это означает, что должна быть возможность повторять эксперимент снова и снова, а частота получения определенных членов ансамбля должна определяться распределением вероятностей ансамбля, которое вы использовали в качестве отправной точки ваших расчетов статистической механики.

Однако иногда вы можете экспериментировать только с одним семплом из ансамбля. В этом случае статистическая механика без эргодической гипотезы не очень полезна, потому что, хотя она может сказать вам, как будет выглядеть типичная выборка из ансамбля, вы не знаете, типична ли ваша конкретная выборка. Здесь помогает эргодическая гипотеза. В нем говорится, что среднее по времени, взятое в любой конкретной выборке, равно среднему по ансамблю. Статистическая механика позволяет вычислить среднее по ансамблю. Если вы можете проводить измерения на одном образце в течение достаточно длительного времени, вы можете взять среднее значение и сравнить его с предсказанным средним по ансамблю и, следовательно, проверить теорию.

Таким образом, во многих практических приложениях статистической механики эргодическая гипотеза очень важна, но она не является фундаментальной для статистической механики, а только для ее применения к определенным видам экспериментов.

В этом ответе я принял эргодическую гипотезу за утверждение о том, что средние значения по ансамблю равны средним значениям по времени. Чтобы добавить путаницы, некоторые люди говорят, что эргодическая гипотеза — это утверждение о том, что время, которое система проводит в области фазового пространства, пропорционально объему этой области. Эти два одинаковы, когда выбранный ансамбль является микроканоническим ансамблем.

Итак, резюмируем: эргодическая гипотеза используется в двух местах:

1. Обосновать использование микроканонического ансамбля.
2. Делать прогнозы о среднем времени наблюдаемых.

Ни один из них не является центральным для статистической механики, поскольку 1) статистическая механика может и выполняется для других ансамблей (например, тех, которые определяются случайными процессами) и 2) часто проводятся эксперименты со многими выборками из ансамбля, а не со средними значениями по времени для одной выборки. .

Что касается ссылок на другие подходы к основам статистической физики, вы можете взглянуть на классическую статью Джейнса ; см. также, например, эту статью (в частности, раздел 2.3), где он обсуждает неуместность гипотез эргодического типа как основы равновесной статистической механики. Конечно, подход Джейнса также страдает рядом недостатков, и я думаю, что можно с уверенностью сказать, что фундаментальная проблема равновесной статистической механики все еще широко открыта.

Вам также может быть интересно ознакомиться с этой статьей Уффинка, где описано большинство современных (и древних) подходов к этой проблеме вместе с их соответствующими недостатками. Это даст вам много более свежих ссылок.

Наконец, если вы хотите математически более тщательного обсуждения роли эргодичности (правильно интерпретируемой) в основаниях статистической механики, вам следует взглянуть на Статистическую механику Галлавотти — краткий трактат , Springer-Verlag (1999), в частности главы I. , II и IX.

РЕДАКТИРОВАТЬ (22 июня 2012 г.): я только что вспомнил об этой статье Брикмонта, которую я читал давно. Довольно интересно и приятно читать (как и большинство из того, что он пишет): Байес, Больцман и Бом: вероятности в физике .

Я искал «смешивание» и не нашел его в других ответах. Но это ключ. Эргодичность в значительной степени не имеет значения, но смешивание — это свойство, благодаря которому равновесная статистическая физика работает для систем многих частиц. См., например, Sklar's Physics and Chance или статьи Джейнса по статистической физике.

Хаотическая гипотеза Галлавотти и Коэна в основном предполагает, что то же самое справедливо и для NESS.

Недавно я опубликовал важную статью «Некоторые частные случаи гипотез Хинчина в статистической механике: приблизительная эргодичность автокорреляционной функции набора линейно связанных осцилляторов». ОПЕРАТИВНОЕ РАССЛЕДОВАНИЕ REVISTA VOL. 33, НЕТ. 3, 99-113, 2012 г. http://rev-inv-ope.univ-paris1.fr/files/33212/33212-01.pdf , что повышает уровень знаний относительно ответа на этот вопрос.

В двух словах: нужно обосновать вывод эргодической гипотезы, не предполагая саму эргодическую гипотезу. Желание сделать это было осознано давно, но робкий прогресс был медленным. Терминология: эрдотическая гипотеза состоит в том, что каждый путь проходит через (или, по крайней мере, около) каждую точку. Эта гипотеза почти никогда не соответствует действительности. Вывод эргодической гипотезы : почти всегда бесконечные средние значения наблюдаемой по траектории (по крайней мере, приблизительно) равны среднему значению наблюдаемой по ансамблю. (Даже если эргодическая гипотеза верна, вывод не следует. Извините, но эта терминология стала общепринятой, традиционной, ортодоксальной, и менять ее уже поздно.)Эргодическая теорема : если нет нетривиальных различных инвариантных подпространств, то выводы эргодической гипотезы верны.

Дарвин ( http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Obits2/Darwin_C_G_RAS_Obituary.html ) и Фаулер ( http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies ). /Fowler.html ), видные физики-математики (Фаулер был учеником Дарвина, а Дирак — Фаулера), нашли правильное фундаментальное обоснование для Stat Mech в 1920-х годах и показали, что он согласуется с экспериментом в каждом случае, который обычно рассматривался до того времени, и также для звездных реакций. Хинчин, великий советский математик, переработал детали их доказательств (Введение к его тонкой книге на эту тему размещено в Интернете по адресу http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ Дополнительно/Khinchin_introduction.html), сделал их доступными для более широкой аудитории и активно изучался математиками и философами науки, интересующимися основами статистической механики или любыми научными выводами (см., например, http://igitur-archive. library.uu.nl/dissertations/1957294/c7.pdf и, для другого примера, Эргодическая теория Яна фон Платона и основы вероятности , в Б. Скирмс и У.Л. Харпер, ред ., Причинность, шанс и достоверность, Труды Ирвина Конференция по вероятности и причинности, т. 1, стр. 257-277, Kluwer, Dordrecht 1988). Работа Хинчина пошла дальше, и в некоторых предположениях он надеялся, что любая динамическая система с достаточно большим числом степеней свободы будет обладать тем свойством, что физически интересные наблюдаемые будут приблизительно удовлетворять выводам эргодической теоремы, даже если динамическая система не хотя бы приближенно удовлетворяют условиям эргодической теоремы. Его арест, когда он умер в тюрьме, прервал возможное создание школы для выполнения его исследовательской программы, но Рюэль и Лэнфорд III добились определенного прогресса.

В своей работе мне удалось доказать гипотезы Хинчина практически для всех линейных классических динамических систем. Для квантовой механики ситуация, конечно, гораздо более спорная. Тем не менее Фаулер фактически основывал свои теоремы о классической статистической механике на квантовой теории, хотя Хинчин сделал обратное: сначала доказал классический случай, а затем безуспешно попытался разобраться с модификациями, необходимыми для КМ. На мой взгляд, квантовый случай не вносит ничего нового.

Почему измерение моделируется бесконечным средним по времени в статистической механике

Это точка приложения для эргодической теоремы или ее заменителей.

Масани, П., и Н. Винер, «Нелинейное предсказание», в книге « Вероятность и статистика», Том Харальда Крамера , изд. У. Гренандер, Стокгольм, 1959, с. 197: «Как указал фон Нейман... при измерении макроскопической величины$x$связаны с физическим или биологическим механизмом... каждое прочтение$x$на самом деле является средним значением за интервал времени$T$[который] может показаться коротким с макроскопической точки зрения, но с микроскопической точки зрения он велик. что предел$\overline x$, в качестве$T \rightarrow \infty$, такого среднего существует и в эргодических случаях не зависит от микроскопического состояния, является содержанием непрерывно-параметрического$L_2$-Эргодическая теорема. Ошибку, связанную с несоблюдением предела на практике, естественно рассматривать как статистическую дисперсию , сосредоточенную вокруг$\overline x$.» См. также Хинчин А., op. цит. , п. 44f., «наблюдение, дающее измерение физической величины, производится не мгновенно, а требует определенного интервала времени, который, как бы мал он ни казался нам, был бы, как правило, очень велик с точки зрения взгляд наблюдателя, наблюдающего за эволюцией нашей физической системы. [...] Таким образом, нам придется сравнивать экспериментальные данные ... со средними временными значениями, полученными за очень большие интервалы времени». А не мгновенное значение или мгновенное состояние. Винер, как цитируется в Heims, op. цит. , п. 138f., «каждое наблюдение... занимает некоторое конечное время, тем самым внося неопределенность».

Бенатти, Ф. Детерминированный хаос в бесконечных квантовых системах , Берлин, 1993, Триестские заметки по физике , с. 3, «Поскольку характерные времена измерительных процессов в макросистемах намного больше, чем те, которые управляют лежащими в их основе микроявлениями, разумно думать о результатах измерительной процедуры как о средних по времени, оцениваемых по фазовым траекториям, соответствующим заданным начальным условиям. .» И Паули В., Лекции Паули по физике, том 4, Статистическая механика , Кембридж, Массачусетс, 1973, с. 28f., «То, что наблюдается макроскопически, является средним временем...»

Винер, «Логика, вероятность и метод физических наук», «Toutes les lois de probabilite connues sont de caractere asymptotique... les соображения асимптотики n'ont d'autre, но dans la Science que de permettre de connaitre les proprietes des ансамбли tres nombreux en evitant de voir ces proprietes s'evanouir dans la путаница, результирующая де лас специфики де леур бесконечность. L'infini permet ainsi de рассмотрит des nombres tres grands sans avoir a tenir compte du fait que ce sont des entites отличительные черты.»

Почему нам нужно заменить средние по ансамблю средними по фазам, что можно сделать разными способами, традиционный способ - использовать эргодическую гипотезу.

Эти цитаты выражают ортодоксальный подход к Классическому Стат Меху. Классическая механическая система находится в определенном состоянии, и измерение некоторого свойства этого состояния моделируется долгосрочным средним значением по траектории системы. Мы аппроксимируем это, взяв бесконечное среднее по времени. Наша теория, однако, не может вычислить это, в любом случае, мы даже не знаем начальных условий системы, поэтому мы не знаем, какая траектория... наша теория вычисляет среднее значение по фазе или среднее по ансамблю. Если мы не можем обосновать своего рода приблизительное равенство среднего по ансамблю среднему по времени, мы не можем объяснить, почему величины, вычисляемые нашей теорией, согласуются с величинами, которые мы измеряем .

Кому-то, конечно, все равно. Это должно быть антиосновополагающим.

Вам могут быть интересны эти лекции:

Запутанность и основы статистической механики

Минимально возможные тепловые машины и основы термодинамики

проводимой Санду Попеску в Институте периметра, а также в этой статье

Запутанность и основы статистической механики .

Там утверждается, что:

1. «от основного постулата статистической механики, постулата равной априорной вероятности, следует отказаться как вводящего в заблуждение и ненужного» (эргодическая гипотеза - один из способов обеспечить постулат равной априорной вероятности)

2. вместо этого предлагается квантовая основа статистической механики, основанная на запутанности. Утверждается, что в гильбертовом пространстве почти все состояния близки к каноническому распределению.

Вы можете найти в статье и другие интересные ссылки на эту тему.

Я не согласен с утверждением Марека, что «во многих практических приложениях статистической механики эргодическая гипотеза очень важна, но она не является фундаментальной для статистической механики, а только для ее применения к определенным видам экспериментов».

Эргодическая гипотеза нигде не нужна. См. Часть II моей книги « Классическая и квантовая механика через алгебры Ли » для трактовки статистической механики, независимой от предположений об эргодичности или смешивании, но все же восстанавливающей обычные формулы равновесной термодинамики.