Оснащенное гильбертово пространство в квантовой механике и обобщенное понятие последовательности

Я читал Арно Бома и Исраэля Гельфанда в книге «Подстроенное гильбертово пространство» ( Φ ⊂ ЧАС ⊂ Φ ′ ), что является попыткой поставить нотацию Бра-Кета Дирака в квантовой механике на строгое математическое основание. Это сильно использует линейные топологические пространства, которые, в свою очередь, сильно используют понятие последовательностей и их сходимости.

По А. Бому ("Оснащенное гильбертово пространство и квантовая механика", 1978, стр. 31)" Φ ′ есть пространство, в котором топология не может быть полностью описана описанием предельного перехода счетных последовательностей ( Φ ′ не удовлетворяет первой аксиоме счетности и, следовательно, является более общим топологическим пространством...)"

Мой опыт работы с последовательностями в литературе показывает, что они всегда предполагают целочисленный индекс, то есть последовательность ф н имеет n целое число. Например, у нас есть { ф 0 , ф 1 , ф 2 , ф 3 ,...,} где значение ф н , для любого целого числа н , может быть целым, действительным, комплексным и т. д. Действительно, Википедия ( http://en.wikipedia.org/wiki/Sequence ) определяет последовательность как «функцию, областью определения которой является выпуклое подмножество множества целых чисел ".

Мой вопрос: определяет ли какая-либо ветвь анализа последовательности ф Икс где Икс реален и не ограничивается целыми числами? Я подумал, что такое обобщение понятия последовательности может оказаться полезным для определения полезной топологии для Φ ′ .

Мои извинения, если это больше относится к math.stackexchange, но моя мотивация для вопроса была основана на чтении физики.

Ответы (2)

Есть два (почти) эквивалентных понятия обобщенных последовательностей, полезных для изучения топологии несчетных пространств: сети и фильтры .

Сети представляют собой более непосредственное обобщение последовательностей, поскольку они используют направленный набор вместо натуральных чисел для параметризации последовательности. Направленное множество — это частично упорядоченное множество, каждое конечное подмножество которого имеет верхнюю границу. Дан направленный набор А , Чистая ( Икс α ) α е А это функция из А к некоторому набору Икс . Большинство обычных результатов, касающихся последовательностей, можно распространить на сети. Одним из важных отличий является концепция подсети. С подсетями нужно быть осторожным: например, последовательность — это сеть ( Н является направленным множеством), но его подсети могут не быть последовательностями! По сути, единственное требование ( у β ) β е Б быть подсетью ( Икс α ) α е А состоит в том, что существует функция с конечным образом и сохраняющая порядок ф : Б → А такой, что у β "=" Икс час ( β ) . На самом деле существуют топологические пространства, в которых аргументы компактности требуют выделения подсети даже из заданной последовательности.

Фильтры являются более фундаментальной теоретико-множественной концепцией, и исторически они чаще используются, по крайней мере, во французской школе общей топологии (см., например, книги Бурбаки). Я не буду подробно обсуждать их здесь, поскольку речь шла явно об обобщенных последовательностях.

Наконец, позвольте мне указать, что топологические векторные пространства являются однородными пространствами, и поэтому наиболее важными понятиями, которые необходимо усвоить для понимания их топологии, являются окружения и базы окрестностей. Хорошим справочником, который также ясно объясняет важность двойственных топологий, является книга Бурбаки «Топологические векторные пространства» .

@David, я немного расширил свой ответ и добавил, возможно, интересную ссылку.
@ Yuggib Мне интересно, будут ли сети Коши полезны в Rigged Hilbert Spaces (AKA Gel'Fand Triple), особенно в отношении Φ ′ (из Φ ⊂ ЧАС ⊂ Φ ′ ), сопряженное функциональному пространству Шварца и не удовлетворяющее первой аксиоме счетности. Я никогда не видел сетей Коши или сетей вообще, применяемых к оснащенным гильбертовым пространствам.
@ Дэвид, это зависит от того, что ты хочешь сделать ... Φ ′ можно наделить многими топологиями (ультраслабой, слабой и т. д.). Дело в том, нужны ли вам топологические свойства двойственности или нет. Обычно в распределениях не смотрят на топологические аспекты.
По Гельфанду, «Обобщенные функции», т. 2, с. 57 (перефразируя): Последовательность в Φ ′ сходится, если все элементы последовательности принадлежат одному из фиксированных Φ п ′ , и они сходятся по норме Φ п ′ , где Φ 0 ′ ⊂ Φ 1 ′ . . . ⊂ Φ п . . . ⊂ Φ ′ . Кажется ограничительным говорить только о сходимости последовательностей, когда все элементы сходящейся последовательности должны находиться в одном и том же подпространстве. Может быть, если говорить о сетях, а не о последовательностях, то все элементы сети не обязательно должны находиться в одном и том же Φ п ′ а может еще сойдется?
Что Φ п ′ ? В любом случае кажется, что он просто обсуждает достаточную конвергенцию. В любом случае может случиться так, что последовательность не сходится, а подсеть сходится. Дело в том, что сети нужны в основном для изучения компактов и тому подобного. Всегда важно, какую топологию вы рассматриваете, и сходимость того, что вам нужно доказать.

В противном случае последовательность можно рассматривать как функцию ф : Н → С такой, что а н "=" ф ( н ) .

Если вместо этого вы хотите индексировать действительные числа, у вас есть ф : р → С такой, что а Икс "=" ф ( Икс ) .

Похоже ли это на что-то из топологии, с которой вы уже умеете работать?

Спасибо! Я читаю серию статей Гельфанда об обобщенных функциях, и он говорит об оснащенном гильбертовом пространстве и сложностях определения топологии для сопряженного пространства Шварца (" Φ ′ "), потому что это не удовлетворяет первой аксиоме счетности. Мне было интересно, может ли индексирование действительных чисел при определении последовательностей и их сходимости быть более естественным подходом к определению топологии для Φ ′
Оснащенное гильбертово пространство в квантовой механике и обобщенное понятие последовательности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v